16.5(1)二项式定理

1、掌握二项式定理的概念、通项、 展开式；2、掌握并会应用二项式定理。

(a b) a 2ab b2

2

2

(a+b)2= (a+b) (a+b)展开后其项的形式为：a2 , ab , b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22

(a b) a 3a b 3ab b = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b33

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b23 2 2 3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题：1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么？

各项前的系数代表着这些项在展开式 中出现的次数3).你能分析说明各项前的系数吗？

3).你能分析说明各项前的系数吗？(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 项b4都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b2 C4

取 三 个 b

系数

取 四 个 b

C0 4

C1 4

C3 4

C4 4

(a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 对于(a+b)n=

(a b)(a b) (a b) n个

的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么， 我们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理，总结特征

(a b) C a C an 0 n n 1 n

n 1

b C a2 n r

n 2

b 2 n

C ar n

n r

b C bn n

二项展开式定理:一般地，对于n N*,有：

(a b) C a C an 0 n n 1 n

n 1

b C a2 n r

n 2

b 2 n

C ar n

n r

b C bn n

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 Cn(r=0,1,2,……,n)叫做 二项式系数 ， r n r r Cn a b 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 _____个项. T C r a n r b r ( r 0,1, 2, n)r 1 n

二项展开式定理: n 0 n 1 n 1 r n r r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b1.项数规律： 展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律：

(n N )

C 、C 、C 、 、C 0 n 1 n 2 n

n n

3.指数规律：

(1)各项的次数和均为n; (2)二项和的第一项a的次数由n逐次降到0, 第二项b的次数由0逐次升到n.

二项展开式定理: n 0 n 1 n 1 r n r r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 特别地: 1、把b用-b代替 (a-b)n=(n N )

0 n 1 Cna -Cnan-1b+

…

rC ran-rbr +(-1) n

+… 2、令a=1,b=xn 1 n

nC nbn +(-1) n2 n 2 r n r n n n

(1 x) 1 C x C x C x C x3、 n C n C n (1

1) C0 1 n

n

2

n

1 4 例1:展开(1+ ) x1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解: 1+ ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( x x x x 4 6 4 1 4 1 4 C4 ( ) 1 2 3 4 . x x x x x注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念r 二项式系数为 C n ;

项的系数为：二项式系数与数字系数的积

例3:(1)求(1+2x )7的展开式的第4项的二项式系数 及第4项的系数3 7

解: (1)T3 1 C 1 (2 x) 280 x3

1 9 (2)求(x ) 的展开式中x 3的系数和中间项 x7 3 3

第四项系数为280

(2)Tr 1 C xr 9

9 r

由9 2r 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C 843 3 3 9

1 r r r 9 2 r ( ) ( 1) C9 x x4 9 4 9

中间一项是第5, 6项, T4 1 C x T5 1 C x5 9 5 9

1 4 ( ) 70x x

1 5 70 ( ) x x

x 1 例4(1):试判断在 3 x 2

8

的展开式中有

无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.(2):由 ( 3 x 2 ) 展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？3 100

x 1 例4(1):试判断在 3 x 2

8

的展开式中有

无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.解：设展开式中的第r+1项为常数项，则： r 8 r 8 r 24 4 r x 1 1 r r r Tr 1 C8 3 1 C8 x 3 x 2 2 24 4r 0 r 6 由题意可知， 3

故存在常数项且为第7项，

1 常数项T7 1 C 2 6 6 8

8 6

x 70

常数项即 0项. x

(2):由 ( 3 x 2 ) 展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？3 100

解： ( 3 x 2 )3

100

的展开式的通项公式为：

Tr 1 C

r 100

3x

100 r

2 3

r

3

100 r 2

100 r r , 均为整数时, T 为有理数. 有理项即 2 3 整数次幂项 r为6的倍数, 且0 r 100. 即r为0, 6,12, ,96, 展开式中共有17项有理项.

1, 100 r 0,2, ,

2 C

r 3

r 100

x

100 r

点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思 维的严密性要求也高.

练习：

x 3 9 1、求 ( ) 的展开式常数项 3 x解:x 9 r 3 r r 1 9 r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 3 3 xr 9 1 9 r r 2

1 由9-r- r 0得r 6. 2 1 9 6 6 T7 C ( ) 3 2268 36 9

x 3 9 ) 的展开式的中间项 2、求 ( 3 x解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项 3 4 4 x 9 4 3 T5 T4 1 C9 ( ) ( ) 42 x 3 xx 9 5 3 5 T6 T5 1 C ( ) ( ) 42 x 3 x5 9 3 2