第6章 解析几何的诞生

数学史

第6章 数学的转折点 ——解析几何的诞生

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从常量数学到变量数学 初等数学 — 研究对象为 常量, 以静止观点研究问题.

高等数学 — 研究对象为 变量, 运动和辩证法进入了数学. 欧几里得与他的 《几何原本》

阿波罗尼奥斯与 《圆锥曲线》阿波罗尼奥斯 特点：静态几何 没有把圆锥曲线看成运动轨迹，更没有给它以一般的 方法表示.

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阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论:

圆

椭圆

抛物线

双曲线

希腊学者梅内赫莫斯(阿波罗尼奥斯之前):

直角圆锥截线 (抛物线)

锐角圆锥截线 (椭圆)

钝角圆锥截线 (等轴双曲线)

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变量数学的早期形式

1) 阿喀琉斯问题 阿喀琉斯与一只领先的乌龟，不论阿喀琉斯跑的 多么快，他永远也追不上那只乌龟。 2)二分说 “一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2,再 走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2……”如此 循环下去，永远不能到终点。 3)刘徽的“割圆术”

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6.1 解析几何产生的背景 16-17世纪，一系列重大的发明为数学和科学的发 展扫清了障碍，数学思想进入了一个新阶段. 首先，从印度—阿拉伯数码的产生，到系统的采 用数学符号，以及代数和分析等学科的发展，为 解析几何产生创造了条件； (例如：三次、四次方程的求解与符号代数是两个 主要的成就)

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6.1 解析几何产生的背景

其次，数学家对圆锥曲线的认识，从最初看作是 从不同角度截圆锥体而得到的曲线，到把曲线看 成是物体运动的轨迹. 例如：开普勒提出了行星运动三大规律 椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太 阳在椭圆的一个焦点上.

伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是抛物线.

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6.2 笛卡尔和他的《几何学》

法国科学家、哲学家, 数学家. 1596年3月13日，生于法国西部 的希列塔尼半岛上的图朗城，3 天后，母亲去世，从小便失去母 亲的笛卡儿一直体弱多病。1649 年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女 王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首 都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑 娘讲授哲学和数学，很遗憾由于 笛卡儿对女王的生活习惯不适应， 加上严寒冬天的威胁，这位伟大 的数学家、物理学家和哲学家病 倒了。1650年2月11日，这位科 学巨人与世长辞了。

笛卡儿 (1596-1650)

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著作：1637年发表《方法论》,并附有一篇《几 何学》的附录. 《几何学》所阐述的思想，被弥尔称作“精密科 学进步中最伟大的一步” 笛卡儿的理论以两个观念为基础：

坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任 意代数方程看成平面上的一条曲线.

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作出 y x y x

2

1 y x

y

x

的图像.

yy x21

1 y x(1,1)

y xy x

o

1

x

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笛卡尔的《几何学》共分三个部分： 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释， 在这一部分中，笛卡儿把几何算术化了： 在一条给定直线上标出x, 在与该轴成固定角的线上标出y, 并作出满足对应关系式的点. y x 2

xy

相当于建立坐标系(斜坐标系、没有y轴和负数)

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第二部分讨论了帕普斯问题： 设给定的线段是AG、GH、EF和AD. 从点P引四条线与已知线交于已知角， 且 PQ PS PR PT,求P的轨迹. 2 2 y Ay Bxy Cx Dx 由几何意义得： 已知量任取一个x,对应一个y,所以该方程对应P点的轨迹. E 意义： A x Q G 通过建立斜坐标系， 把几何曲线表示成代 S y R 数方程， F T 然后通过研究代数方 P H 程来揭示曲线的性质. D

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第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了方程可能 有和它的次数一样多的根. 在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想. 笛卡儿所谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的 线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量.

笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与 “数” 统一起来，并在数学中引入“变量”,完成 了数学史上一项划时代的变革.

xy

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6.2 费马和他的解析几何 费马是法国数学家，1601 年8 月出生 于生活在富裕舒适的环境中.费马小 时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了 良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴 趣和爱好，对他的性格也产生了重要 的影响.直到14岁时，费马才入校学 习，毕业后先后在奥尔良大学和图卢 兹大学学习法律. 在数学方面，《数学论集》是费马去世后由其长子将其 笔记、批注及书信整理成书而出版的.费马的数学研究 成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人 的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐.

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费马关于曲线的工作 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希 腊几何学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》, 他用代数方法对该书的证明作了补充，对古希腊 几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了 总结和整理. 并于1629年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平 面与立体轨迹引论》(即研究“点”在平面和立 体空间中运动划出的“轨迹”,主要指直线和各 种曲线.费尔马又是用代数方法研究的，与笛卡尔 的类似.

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曲线和它上面的任意点I(I通过AE确定), A是从原点O沿底线到J的距离，E是J到I的距离， 费马给出直线方程为： d x=b y , 2 2 2 圆方程为： p x y ; 2 2 2 a x ky ; 双曲线方程为： 抛物

线方程为： x 2 ay.

I

I E

I E 斜坐标、没有y轴和负数

E

O

A

A A J J J

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6.4 解析几何的进一步完善和发展 牛顿在1704 年，对于二次和 三次曲线理论进行了比较系统 的研究.特别是，得到了“直 径” 的一般理论. 例如，二次曲线的平行弦中点 的轨迹是直线，这个结论，对 于椭圆、双曲线、抛物线都是 正确的.对于这个早已熟知的 命题，要用综合几何的方法来 论证是非常困难的，但用解析 几何的方法很容易就证明 了.这也显示了解析几何的作 用.