华中科技大学课件 复变函数与积分变换 泰勒级数

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示

§4.3 泰勒级数

1、泰勒(Taylor)定理 泰勒(Taylor)定理 (Taylor) 2、一些初等函数的泰勒展式

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示 4.3.1、泰勒(Taylor)定理 、泰勒 定理定理4.6 (泰勒定理 设f(z)在区域 内解析 0∈D,只 泰勒定理) 在区域D内解析 定理 泰勒定理 在区域 内解析,z 只 含于D,则 在 内能展成如下幂级数 要K:|z-z0|<R含于 则f(z)在K内能展成如下幂级数 含于

f (z) =其中系数

cn ( z z0 )n ∑n=0

∞

DΓρ

f (n)(z0) 1 f (ζ) c = n ∫Γρ (ζ z0)n+1dζ = n! 2 i π

( Γ ρ :| ξ z0 |= ρ , 0 < ρ < R; n = 0,1, 2, )且展式是唯一的. 且展式是唯一的

(z0 = 0时称为 时称为Maclaurin级数 )

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 柯西积分公式及如下熟知的公式 ∞1 = ∑ g ( z ) n (|g(z)|<1). 1 g( z ) n=0

z ∈ K 总有一个圆周: Γ :|ζ z0 |=ρ(0<ρ < R ), ρ 使点z含在 Γ ρ的内部(图4.1中虚线表).由柯西积分公式得: 1 f( ) ζ f (z) = ξ ∫Γp ζ zd 2 i π f (ζ ) 我们设法将被积式: ζ z 表示为一个含有z-z0的正幂次级数.为此该写： f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) 1 = = ζ z ζ z0 ( z z0 ) ζ z 0 1 z z0 ζ z0Γρ

ζ

图4.1

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示f (ζ ) ζ z0 1 f (ζ ) z z0 = ζ z0 1 ζ z0Γρn

z z0 ∑0 ζ z n= 0 ∞

n

z z0 <1 Q ζ z 0

f (z) =

2π i ∫

1

f (ζ ) 1 dζ = 2π i ζ zn

∫ ∑Γρ n= 0

∞

f (ζ )( z z0 )n dζ n +1 (ζ z0 )

f (ζ )( z z0 ) M z z0 ≤ , M = max f (ζ ) n +1 Γρ (ζ z0 ) ρ ρ n ∞ z z0 M z z0 ∑ ρ ρ 收敛 ， Q ρ < 1 n= 0 n ∞ f (ζ )( z z0 ) ζ 关于 在Γ ρ上一致收敛 ∑ n+1 (ζ z0 ) n= 0

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示z z0 是一致收敛的, 级数∑(ζ z ) 在 Γ ρ上(关于ζ)是一致收敛的,与 Γ ρ上 n=0 0 相乘, 上的一致收敛级数。 的有界函数 f (ζ )相乘,仍然得到Γ ρ 上的一致收敛级数。 ζ z0∞ n

1 逐项积分： 逐项积分： ( z ) = ∑ f n= 0 2π i∞

= ∑ C n ( z z0 ) , z z 0 < ρn n= 0

∞

f (ζ ) dζ ( z z0 )n ∫Cρ ( ζ z0 )n+1

f ( n ) ( z0 ) 1 f (z) Cn = ∫ C ρ ( z z0 )n+1 dz = n ! 2π i 与z,ρ无关 无关

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示注:1) 泰勒展开式是唯一的; ) 泰勒展开式是唯一的; 2) 由 ρ 的 任 意 性 知 ，cρρ

圆周的半径可以任意增大, 圆周的半径可以任意增大 只要含在D内 只要含在 内. 因此如果f(z)在 解析, 则使f(z)在 因此如果 在z0

解析 则使 在z0的泰勒展开式成立的 圆域的半径R至少等于从 至少等于从z 的边界上各点的最短距离。 圆域的半径 至少等于从 0到D的边界上各点的最短距离。 的边界上各点的最短距离 如果f 有奇点 有奇点， 等于从z 的距z 如果 (z)有奇点，则R等于从 0到f(z)的距 0最近一个奇 等于从 的距 的距离, 点a的距离 即R=|a-z0|. 的距离 y 这是因为f(z)在收敛圆内解析 在收敛圆内解析, 这是因为 在收敛圆内解析 故奇 a 不可能在收敛圆内. 点a不可能在收敛圆内 又因为奇点 不 不可能在收敛圆内 又因为奇点a不 z0 可能在收敛圆外, 可能在收敛圆外 不然收敛半径还可以 扩大, 因此奇点a只能在收敛圆周上 只能在收敛圆周上. 扩大 因此奇点 只能在收敛圆周上 O x

z ζ z0

D

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示 1 例如： 例如： f ( z ) = 2 = z +z 6 其收敛半径： 其收敛半径：R = 2 ;

∑Cn=0

∞

n

z ,

n

∞ 1 n f ( z) = 2 = ∑ Cn ( z i ) , z + z 6 n= 0

其收敛半径： 其收敛半径： R =

5

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示 推论1: 推论 ： f ( z )在 z 0 解 析 f(z)在z0的某一邻域内可展开为 0的幂级数 在 的某一邻域内可展开为z-z 的幂级数. 推论2: 推论 ： 设函数f ( z )在区域D解析， 解析， z0 ∈ D, R = dist ( z0 , D ) 内可展开为z-z 的幂级数. 则 f ( z ) 在 z z 0 < R 内可展开为 0的幂级数 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 推论3: 推论 ：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有 一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 一个奇点 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 ).

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示

解析函数展开为Taylor级数的方法 2. 解析函数展开为 级数的方法1 (n) , , ) 直接法:直接计算系数: n 直接法:直接计算系数: c = f (z0) (n=012,L n ! e z 在z = 0处的Ta lor展式。 Taylor展式。 lor展式 例1 :求

=1 = e ,n = 0 ,1 , 2 ,K z=0 z (n) 2 n ( e ) z=0 1 z z z cn = = e = 1 + z + +K+ +K n! n! 2! n!解： ( e )z ( n) z

( e z )( n )

类似地， 处的Taylor展开式 类似地，sinz, cosz在z=0处的 在 处的 展开式

z < +∞

z3 z5 z2n+1 sinz =z + L ( )n + 1 +L z <+ ∞ n )! 3! 5! (2 +1 z2 z4 z2n c sz =1 + L ( )n o + 1 +L 2! 4! (2 )! n z <+ ∞

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示间接法： 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算 加法，乘法，积分，求导等运算)和分析性质, (加法，乘法，积分，求导等运算)和分析性质, 以 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： (1)利用已知初等函数的级数展开式； (1)利用已知初等函数的级数展开式

; 利用已知初等函数的级数展开式 (2)利用几何级数 (2)利用几何级数 (3)逐项求导 逐项积分； 逐项求导、 (3)逐项求导、逐项积分； (4)待定系数法 (4)待定系数法 处的Taylor展开式 例2:求sinz在z=0处的 ： 在 处的 展开式1 iz iz 1 ∞ (iz)n ∞ ( )n iz s z = (e e ) = ∑ in ∑ 2 i 2 n=0 n i ! n=0 n ! ∞ z3 z5 z2n+1 =z + L ∑ )n = ( 1 3 5 ! ! (2 +1 n )! n 0 =

z <+ ∞

华中科技大学课件 复变函数与积分变换

第四章 解析函数的级数表示

e 例3:求函数 ： 在z=0处的泰勒展开式 处的泰勒展开式 1 zz2 zn ez = 1+ z + + K + + K n! 2!

z

解： 函数有一个奇点z=1, 收敛半径R=1,在|z|<1内解析 内解析. 函数有 …… 此处隐藏：3906字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……