第3章 工程随机数学基础习题_答案

第3章 工程随机数学基础习题_答案

1 第3章 多维随机变量及其分布

习题 3

1．设二维随机变量),(ηξ只能取下列数组中的值：

(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。

且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。

2．一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以ηξ,分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求),(ηξ的联合分布律。

解：

11(1,2)133

211(2,1)323

211(2,2)P P P =?==?==?= 3．一整数n 等可能地在1，2，3，…，10十个值中取一个值，设)(n ξξ=是能整除n 的正整数的个数，)(n ηη=是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。

解：

4．设随机变量),(ηξ的联合概率密度为

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2 ??

???≤-===??---∞+∞-其它,0,1||,121),()(21122x x dy dy y x f x f x x ππξ

(1)确定常数k ； (2)求}3,1{<<ηξP ；

(3)求}5.1{<ξP ； (4)求}4{≤+ηξP 。

(1) 由概率密度的性质知：

??=--20421)6(dy y x k dx ,

即 8k =1 ∴ k =1/8;

(2) ??=--=<<8/38/)6(2

301}3,1{dy y x dx p ηξ (3)

}5.1{<ξP 32/278/)6(5.104

2=--=??dy y x dx ;

(4) dxdy y x f P G ??=≤+),(}4{ηξ32)6(814220=--=

??-dy y x dx x 。

5．设二维随机变量(ξ，η)的联合分布函数为：

???>>+--=----其它，,

0)0,0(,3331),(y x y x F y x y x 试求(1)联合概率密度),(y x f ；(2)}10,10{≤<≤<y x P 。

解：（1）其他，0,0x 033ln ),(),(22>>??

????=???=--y y x y x F y x f y x （2）94)0,1()1,0()0,0()1,1(}10,10{=--+=≤<≤<F F F F y x P

6．已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用ξ表示所含的一级品件数，η表示二级品件数。试求：

(1) ),(ηξ的联合分布律；

(2) 关于ξ和关于η的边缘分布律；

(3) },5.2,5.1{<<ηξP },2{≤ξP }0{<ηP 。

解：(1)按古典概型计算，从8件中取3件，共有8563??= ???

种取法。在取出的三件中，

一级品有i 件，二级品有j 件，剩下3-i-j 件为次品，且其不超过1件。

{}251,3N i j i j i j ξη??????=== ?????--

??????

有

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3

{}{}{}{}{}{}3521

5121

52111521212112525

0,35628

5

0,256285

1,25614

5

1,156281

2,056565

2,15656

C P C C P C C P C C C P C C P C C P ξηξηξηξηξηξη====

====

====

====

====

====

所以(),ξη得联合分布律如下：

(2)关于ξ的边缘分布律：

关于η的边缘分布律

(3)

P {ξ<1.5，η<2.5}= P {ξ=0，η=0}+ P {ξ=1，η=0}+ P {ξ=0，η=1}+ P {ξ=1，η=1}+ P {ξ=0，η=2}+P {ξ=1，η

=2}=40/56 P {ξ≤2}=1，P {η<0}=0。

7．已知二维随机变量),(ηξ的联合概率密度为

??

???≤≤≤≤+=,其它,0,40,40),

sin(),(π

πy x y x c y x f

试确定待定系数c ，并求关于ηξ,的边缘概率密度。

解：

（1） 根据440

sin()1c

x y dxdy π

π

+=??

解得1

（2） 关于ηξ,的边缘概率密度，有

4

0()(,)2

1)s i n ((21)c o s c o s ()

4f x f x y d y x y x x π

ξπ+∞-∞

?

?

==+=-+

???

?

?

? 同理

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4 40()(,)1)sin()1)cos cos()4f y f x y dx x y dx y y π

ηπ+∞

-∞??==+=-+??????

8．设二维随机变量),(ηξ在区域G 上服从均匀分布，其中

},10|),{(2x y x x y x G <≤≤≤=试求),(ηξ的联合概率密度及ξ和η的边缘概率密度。 解：1(,),0G S f x y ??=???

，其他(,)x y G ∈ G S 为区域G 的面积

1201111()236G

S dxdy x x dx ==-=-=??? 故6,(,)(,)0,x y G f x y ∈?=??其他

?????≤≤-==?.,0,10),(66)(22其它x x x dy x f x x ξ

?????≤≤-==?.,0,10),(66)(其它y y y dx y f y y η

9．已知ξ服从参数6.0=p 的(0-1)分布，且在0=ξ及1=ξ下，关于η的条件分布分别如

求二维随机变量),(ηξ的联合概率分布，以及在1≠η时关于ξ的条件分布。

解：因ξ服从参数6.0=p 的(0-1)分布，有ξ B （1，0.6）

知

{}{}2

05315P P ξξ==

== 易知

{}{}{}

{}{}{}

x,00x,11P P x P P P x P ηξηξηξηξ==========，x 取1，2，3

有

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5 {}{}{}{}{}{}{}11211,02010

1

152,011113510105

1

1103,011116510105

1

1102,111116510105

1

153,111113510105

1110339

01|10103

1

32|11103P P P P P P P P ηξηξηξηξηξηξηξ===

=====+++====+++====+++====+++=≠?=====+====+

则二维随机变量（ξ，η）的联合概率为：

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6 在η≠1时，{}{}{}{}1152,011113

510105

1

1103,0111165101051

1102,111116510105

1

153,13510105

P P P P ηξηξηξηξ====+++====+++====+++====+++

10．在第2题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当1=ξ时，η的条件分布是什么？

因11

0339

P =≠?=，ξ和η并不独立 ξ=1时，η条件分布如下：

{}{}01|10103

1

32|110P P ηξηξ====+====+

11．设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度为

??

???≥≥++=其它，,0),0,0(,)

1(6),(4y x y x y x f 试求 (1)条件概率密度)|(|y x f ηξ； (2)}1|10{=≤≤ηξP 。

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7 解：（1）由)

(),()/(/y f y x f y x f ηηξ=为在y =η条件下，ξ的条件概率密度，则先求出)(y f η为：

当0≥y 时 334)

1(20|)1(2)1(60),()(+=∞++-=++∞=∞-∞+=??-y y x dx y x dx y x f y f η 当y<0时

()0=y f η

其他），，（

，其他），，（0y 0x 0

)1()1(30y 0x 0)1(2)1(6

)/(43

34/≥≥??

?

??+++=???????≥≥+++=y x y

y y x y x f n ξ

可知其他

0,0)2(24

)/(4/≥?????

+=x x y x f ηξ

（3） 因有其他

0,0)2(24

)1/(4/≥???

??+=x x x f ηξ

从而得：

27

/19)1(24