2.4齐次线性方程组

向量组与矩阵

2.4 齐次线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + L a1n xn = 0 a x + a x + L a x = 0 21 1 22 2 2n n LL am1 x1 + am 2 x2 + L amn xn = 0 11 12 1n

(2.11)

矩阵方程为: 矩阵方程为 AX = 0

其中

a a L a a a L a A= L L a a L a 21 22 2n m1 m2 mn

2011年4月21日星期四

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x x X = ... x x 1 2 n 1 n

向量组与矩阵

则在A中存在一个不为 阶子式D, 设R(A)=r,则在 中存在一个不为 的r阶子式 ，在 则在 中存在一个不为0的 阶子式 方程组(2.11)中系数包含 的r个方程便是方程组 中系数包含D的 个方程便是方程组 个方程便是方程组(2.11) 方程组 中系数包含 的同解方程组。 的同解方程组。分三种情况讨论。 分三种情况讨论。

(1)当m ≥ n, 而r = n时,不妨设A中前n行构成的n阶子式D不等于0, 此时方程组(2.11)与下列方程组同解. a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LL LL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0 系数行列式D ≠ 0,故由G.Cramer法则知,方程组只有惟一的0解.2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 2

向量组与矩阵

(2)当m ≥ n, 而r < n时,不妨设A中前r行r列构成的r阶子式D ≠ 0, 此时方程组(2.11)与下列方程组同解. a11 x1 + a12 x2 + L + a1r xr = a1,r +1 xr +1 L a1n xn a21 x1 + a22 x2 + L + a2 r xr = a2,r +1 xr +1 L a2 n xn LL LL ar1 x1 + ar 2 x2 + L + arr xr = ar ,r +1 xr +1 L arn xn (2.12)

方程组(2.12)的系数行列式D ≠ 0,故由G.Cramer法则知, 方程组只有惟一的解.但这个解中的xr+1 , xr + 2 ,L xn可取任意常数,因此,方程组(2.11) 有无穷多个解.2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 3

向量组与矩阵

(3)当m < n时,由于R(A)=r ≤ m<n,不妨设A中前r行r列 构成的r阶子式D ≠ 0,方程组(2.11)与(2.12)同解,故 有无穷多个解.

定理2.9 齐次线性方程组(2.11): 定理 齐次线性方程组 (1)当其系数矩阵的 当其系数矩阵的R(A)=n时，只有惟一的零解； 当其系数矩阵的 时 只有惟一的零解； (2)当R(A)<n时，有无穷多个解 当 时 有无穷多个解. 将齐次线性方程组(2.11)的一个解构成的 维列向量称为 的一个解构成的n维列向量称为 将齐次线性方程组 的一个解构成的 一个解向量 齐次线性方程组(2.11)的全部解构成的集合 解向量; 一个解向量 齐次线性方程组 的全部解构成的集合 称为解集合,也称为解空间. 也称为解空间 称为解集合 也称为解空间2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 4

向量组与矩阵

例2.7 设有齐次线性方程组

x + (λ 1) x + x = 0 x) + (λ 1) x +(*) x = 0 x + x + (λ 1) x = 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3

问当λ取何值时 ， 上述方程组( ) 有唯一的零解； 问当 取何值时， 上述方程组 ( *) 有唯

一的零解 ； 取何值时 (*)有无穷多个解，并求出这些解。 )有无穷多个解，并求出这些解。

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向量组与矩阵

解

方程组( 方程组(2.12)的系数行列式为 )1 A = λ 1 1

λ 11 1 1 1

λ +1 λ +1 λ +1 1 = λ 1 1 1 λ 1 λ 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 = (λ + 1) λ 2 0

= (λ + 1) λ 1 1 = (λ + 1)(λ 2)2

1 λ 1

0 λ 2

方程组( )有唯一的零解, (1)当 λ ≠ 1 , 2 时，方程组(*)有唯一的零解 等于3. 即 R(A)等于 等于2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 6

向量组与矩阵

方程组( (2)当 λ = 1 时，方程组(*)的系数矩阵为

1 A = 2 1 由于 A = 0

2

1 1 1 1 2 ,而A中有一个二阶子式

1 2 D= = 3 ≠ 0 2 1故方程组( 因此 R( A) = 2 < n(这里n = 3) ,故方程组(*)有无穷 多个解。 多个解。2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 7

向量组与矩阵

对A施行初等行变换 施行初等行变换 1 2 1 r +2 r 1 2 1 r3 +r2 1 2 1 2 1 1 r2 2 1 1 0 3 3 0 1 1 r3 r1 3 A= → → 1 1 2 0 3 3 0 0 0 1 0 1 r1 + 2 r2 0 1 1 方程组(2.12)的解为 → )的解为: 方程组( 0 0 0

x1 = x3 x2 = x3 x = x 3 32011年4月21日星期四

可取任意数。 其中 x3 可取任意数。

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向量组与矩阵

(3)当 λ = 2 时，方程组(2.12)的系数矩阵为 当 方程组( )

1 1 1 A = 1 1 1 1 1 1

显然 R( A) = 1 < n(这里n=3)

此时方程组( )也有无穷多个解。 此时方程组(*)也有无穷多个解。对A施行初等行变换 施行初等行变换

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向量组与矩阵

1 1 1 r r 1 1 1 r32 r11 A = 1 1 1 → 0 0 0 0 0 0 1 1 1 可得方程组( 可得方程组(2.12)的解 )

可取任意数。 其中 x 2 , x3 可取任意数。

x1 = x 2 x3 x2 = x2 x = x 3 3

注意：通解中所含任意常数的个数为n-R(A) 注意：通解中所含任意常数的个数为2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 10

向量组与矩阵

对一般的齐次线性方程组(2.11),当其有无穷多个解的 ， 对一般的齐次线性方程组 时候，能否判断解的表达式中有几个任意常数？ 时候，能否判断解的表达式中有几个任意常数？这些 解与解之间有没有联系？ 解与解之间有没有联系？ 齐次线性方程组(2.11)的一个解构成的一列数称为一 的一个解构成的一列数称为一 齐次线性方程组 维列向量， 解向量。 个n维列向量，也称为解向量。 维列向量 也称为解向量 解的性质(线性)

解的性质(线性性 质 2. 1 : 如 果 α = ( x1 , x 2 , L x n ) T , β = ( y1 , y 2 , L y n ) T 都 是 方 程 组 ( )的 解 ， k 为 常 数 ,则 α + β , k α 也 是 其 解 .2011年4月21日星期四 Spring, 2010,18ppt 11

向量组与矩阵

性质2.2:齐次线性方程组(2.11)的全部解向量构成的 性质 ：齐次线性方程组 的全部解向量构成的 向量组有最大无关组。 向量组有最大无关组。

性质2.3 : 设α1 , α 2 ,Lα r 是齐次线性方程组(2.11)的解向 量组的一个最大无关组,则α1 , α 2 ,Lα r的任意线性组合 都是(2.11)的解向量;反之,(2.11)的任意解向量都可以 表成α1 , α 2 ,Lα r的线性组合.

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向量组与矩阵

定义2.10 : 设a1 , a2 ,L ar 是齐次线性方程组(2.11)的r 个解向量,如果:

(1)a1 , a2 ,L ar 线性无关;(2)式(2.11)的任意一个解向量都可以由a1 , a2 ,L ar 线性表示,则称a1 , a2 ,L ar 是齐次线性方程组(2.11) 的一个基础解系.基础解系不是唯一的，但是，每个基础解系所含向量的个数相 基础解系不是唯一的，但是， 同。

设 A = Am×n , R ( A ) = r < n , 则 方 程 组 A x = 0的 基 础 解 系 含 有 n - r 个 解 向 量 。2011年4月21日 …… 此处隐藏：3354字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……