2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第3讲一

第3讲

一次函数、反比例函数及二次函数

考纲要求 1.会运用函数图象理解和研 究函数的性质. 2.结合二次函数的图象，了 解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的 存在性及根的个数.

考纲研读 一次函数、反比例函数及二次函数 是最简单、最基础的函数，尤其二 次函数是代数的基础，函数与方程、 三角函数、导数、数列、不等式等最 终都转化成二次函数或二次不等式解 决，因此在备考时要予以重视.

1.一次函数 y=kx+b,当 k>0 时，在实数集 R 上是增函数. 当 k<0 时，在实数集 R 上是减函数.

k 2.反比例函数y=—定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当k>0 x时，在(-∞,0),(0,+∞)都是减函数，k<0 时，(-∞,0),(0, +∞)都是增函数.

3.二次函数的解析式有三种形式 (1)一般式：__________________________. f(x)=ax2+bx+c(a≠0) f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (h,k) (2)顶点式：___________________________,顶点_______. f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)两根式____________________________,x ,x 为二次函1 2

数图象与 x 轴两个交点的横坐标. 4.二次函数的图象及其性质 b 2 4ac-b 2 f(x)=ax +bx+c=a x+2a + 4a 2

对于二次函数

.

4ac-b2 b (1)当 a>0 时， f(x)的图象开口向上. 顶点坐标为 - , . 2a 4a

b 对称轴为 x=-2a.

b b f(x)在 -∞,-2a 上减少，f(x)在 -2a,+∞ 上增加.

4ac-b2 b 当 x=-2a时，函数取得最小值 4a .2 b 4ac-b (2)当 a<0 时， f(x)的图象开口向下. 顶点坐标为 - , . 2a 4a

b 对称轴为 x=-2a. b b f(x)在 -∞,-2a 上增加，f(x)在 -2a,+∞ 上减少.

4ac-b2 b 当 x=-2a时，函数取得最大值 4a .

1.若一次函数 y=kx+b 在(-∞,+∞)上是减函数，则点(k,

b)在直角坐标平面的( C )A.上半平面C.左半平面 B.下半平面 D.右半平面

2.函数 f(x)=2x2-6x+1 在区间[-1,1]上的最小值是( C ) A.-9 B.-

7 2

C.-3

D.-1

3.已知：函数 f(x)=x2+4(1-a)x+1 在[1,+∞)上是增函数， 3 a≤ 则 a 的取值范围是_______. 2

4.将抛物线 y=2(x+1)2-3 向右平移 1 个单位，再向上平移

y=2x2-1 (0,-1) 2 个单位，所得抛物线为__________,其顶点坐标为________.b 5.函数 y=ax 和 y=x在(0,+∞)上都是减函数，则 y=ax2

单调递增 +bx+c 在(-∞,0)上的单调性为_________.

考点1

二次函数的值域

例1:根据函数单调性求下列函数的值域. (1)f(x)=x2+4x-1,x∈[-4,-3]; (2)f(x)=-2x2-x+4,x∈[-3,-1];

(3)f(x)=2x2-4x-1,x∈(-1,3);1 (4)f(x)

=-—x2-x-1,x∈[-4,0]. 2

解析：(1)f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5, 在区间[-4,-3]上单调递减，则 y∈[-4,-1]. (2)f(x)=-2x2

1 2 33 -x+4=-2 x+4 + 8 ,

f(x)在区间 x∈[-3,-1]上单调递增，则 y∈[-11,3]. (3)f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, x∈(-1,3),当 x=1 时，f(x)取最小值-3, 又 f(-1)=f(3)=5, 则 y∈[-3,5).

1 2 1 1 2 (4)f(x)=-2x -x-1=-2(x+1) -2, 1 x∈[-4,0],当 x=-1 时，f(x)取最大值-2. 又 f(-4)=-5,f(0)=-1, 则 1 y∈ -5,-2 .

求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的错

误就是直接代两头(将两端点代入),当然这样做，有时答案也对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合.求二次函数在某 个区间的最值，应该配方，找到对称轴和顶点，结合图形求解.

【互动探究】 1.若函数y=x2 -2x+3在闭区间[0,m]上有最大值为3,

最小值为2,则m的取值范围是________. [1,2]解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、 其最小值为2的抛物线，又∵f(0)=3, 结合图象易得，2≥m≥1,∴m的取值范围是[1,2].

考点2 含参数问题的讨论a 1 例 2:已知函数 y=-sin x+asinx-4+2的最大值为 2,求 a2

的值.解析：令 t=sinx,则 t∈[-1,1]. a 2 1 2 ∴y=- t-2 +4(a -a+2),对称轴为

a t=2,

a (1)当-1≤2≤1,即-2≤a≤2 时， 1 2 ymax=4(a -a+2)=2,解得 a=-2 或 a=3(舍去).

a (2)当2>1,即 a>2 时， a 2 1 2 函数 y=- t-2 +4(a -a+2)在[-1,1]单调递增， 1 3 10 由 ymax=-2+4a=2,解得 a= 3 . a (3)当2<-1,即 a<-2 时， a 2 1 2 函数 y=- t-2 +4(a -a+2)在[-1,1]单调递减， 5 1 由 ymax=-4a-2=2,得 a=-2(舍去). 10 综上可得，a 的值为 a=-2 或 a= 3 .

“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间 动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应引起足够的

a 重视.本例中的二次函数是区间 t∈[-1,1]固定，对称轴 t=2在变 a 化， 因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系， 即分-1≤2≤1, a a 2>1 及2<-1 三种情况讨论.

【互动探究】2.设非空集合 S={x|m≤x≤l}满足：当 x∈S 时，有 x2∈S. 1 1 给出如下三个命题：①若 m=1,则 S={1};②若 m=-2,则4 1 2 ≤l≤1;③若 l=2,则- 2 ≤m≤0.其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

解析：①若 m=1,则 S={x|1≤x≤l},l≥1, x2∈[1,l2] [1,l],l2≤l,∴0≤l≤1.∴l=1.S={1}; 1 1 1 1 2 ②若 m=-2,则 m =4,l≥4,S= x -2≤x≤l ,

x ∈[0,l

2

2

1

1 - ,l ,l2≤l,∴0≤l≤1,∴ ≤l≤1; ] 2 4

2 1 1 1 2 ③若 l=2,则 S= x m≤x≤2 ,若 m>0,则 x ∈ m ,4 ,

1 2 2 ∵m <m, 显然不合题意； m≤0, 若 ∵m ≤2, ∴- 2 ≤m≤ 2 ,2 2

2 2 有- 2 ≤m≤0.- 2 ≤m≤0.

答案：D

考点3 二次函数的综合应用

例 3 : 设 函 数 f(x) = ax2 + bx + 1(a , b 为 实 数 ) , F(x) = f x -f x

x>0 , x<0 .

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立，求 F(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当 x∈[-3,3]时，g(x)=f(x)-kx 是单调函 数，求实数 k 的取值范围； (3)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)

+F(n)>0.