数学建模姜启源课件

介绍数模知识,培养数模兴趣!

第一章

建立数学模型

1.1 从现实对象到数学模型

1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模

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1.1

从现实对象到数学模型我们常见的模型

玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… 地图、电路图、分子结构图… ~ 物理模型 ~ 符号模型

模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.

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你碰到过的数学模型——“航行问题”甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h, 从乙到甲逆水航行需50h,问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：

( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750求解

x=20 y =5

答：船速为20km/h.

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航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数); 用符号表示有关量(x, y表示船速和水速); 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程);

求解得到数学解答(x=20, y=5); 回答原问题(船速为20km/h).

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数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模(Mathematical Modeling)数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.

数学 建模

建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等)

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1.2

数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.

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数学建模的重要意义―数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”.

―计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径” .

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数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策

控制与优化

规划与管理

数学建模

如虎添翼

计算机技术

知识经济

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1.3 数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗放稳 ~ 四只脚着地

问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着

地.

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模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.

椅子位置

利用正方形(椅脚连线)的对称性.B A´

用 (对角线与x轴的夹角)表示椅子位置. B ´ 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是 的函数. 四个距离 (四只脚) 两个距离CO C´

D´

A

xD

正方形 对称性

A,C 两脚与地面距离之和 ~ f( )

B,D 两脚与地面距离之和 ~ g( )

正方形ABCD 绕O点旋转

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模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f( ) , g( )是连续函数

对任意 , f( ), g( ) 至少一个为0

数学 问题

已知： f( ) , g( )是连续函数 ; 对任意 , f( ) g( )=0 ;

且 g(0)=0, f(0) > 0.证明：存在 0,使f( 0) = g( 0) = 0.

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模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法1)将椅子旋转90o,对角线AC和BD互换.

由 g(0)=0,f(0) > 0,知 f( /2)=0, g( /2)>0.2)令 h( )= f( )–g( ), 则 h(0)>0 和 h( /2)<0. 3)由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数 的基本性质, 必存在 0 ( 0< 0 < /2) , 使h( 0)=0, 即 f( 0) = g( 0) . 4)因为 f( ) g( )=0, 所以 f( 0) = g( 0) = 0.

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评注和思考建模的关键： 用 表示椅子的位置 用 f( ), g( )表示椅脚与地面的距离 假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4). 证明过程的粗糙之处： 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样 变化？

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1.3.2 商人们怎样安全过河问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任 一岸, 一旦随从的人数 比商人多, 就杀人越货. 乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程

河

小船(至多2人) 3名商人 3名随从

决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员. 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河.

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模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk) ~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3;

k=1,2,…

S ~ 允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}

uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数

uk, vk=0, 1, 2;

k=1,2,…

dk=(uk , vk) ~过程的决策 D ~允许决策集合 D={(u , v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2} 状态因决策而改变

sk+1=sk +(-1)kdk

~状态转移律

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模型构成

求dk D(k=1,2, n), 使sk S, 并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).

模型求解 S={(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2} 穷举法 ~ 编程上机 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, ,d11给出安全渡河方案2 1 d11 0 1 2 3 x 3

y

s1d1

sn+1