【数学】2.1.2 指数函数及其性质 课件1(人教A版必修1)

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1.2 指数函数及其性质

导入新课问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x 有怎样的关系？

第1次： 2个 第2次：4个

2

2

12

………… ……

第3次：8个

23x

第x次：

y 2

导入新课问题2 一种放射性物质不断衰减为其它物质，每经 过一年剩留量约为原来的84%,则这种物质经过x年后的 剩留量是多少？分析：

设该物质经过x年后的剩留量为y 若设该物质原有量为1 则经过一年剩留量为: y 1 0.84% 2 经过二年剩留量为: y 1 0.84% 0.84% 0.84 经过三年剩留量为: y 1 0.84% 0.84% 0.84% 0.843 …… x 即经过x年后的剩留量是 y 0.84

问题探究

y 2

xx

y 0.84

思考：(1)它们是否构成函数？(2)这两个解析式有什么共同特征？ 分析： 对于这两个关系式，每给自变量x的一个 值，y都有唯一确定的值和它对应。

两个解析式都具有 y a 的形式，其中自变量x是 指数，底数a是一个大于0且不等于1的变量。x

指数函数的概念定义：形如y a (a 0且a 1)的函数称为指数函数；x

其中x是自变量，函数的定义域为R.注意 ：

(1)ax为一个整体，前面系数为1; (2)a>0,且 a≠1 ; (3)自变量x在幂指数的位置且为单个x;

思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1?

为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1x 当 x 0 时, a 0. (1)若a 0, x 当 x 0 时, a 无意义.

1 1 (2)若a < 0, 如y = (-2) , 这时对于x = , 在实数范围 2 4 内的函数值不存在.x

(3) 若a=1时，函数值y=1,没有研究的必要.

练习判断下列哪些函数是指数函数.

(1)y x , x R2

(×) (× ) (× )

(2)y 2 4 x , x R (3)y ( 4) x ,x Rx

1 (4)y (2a 1) (a , a 1), x R (√ ) 2 (5)y x , x R (√ ) (6)y 42 x , x R (√ )

指数函数的图像和性质1 1 x 1、在方格纸上画出： y 2 x , y ,y 3 ,y 2 3 x x

的图像，并分析函数图象有哪些特点？ 画函数图象的步骤： 列表 描点 连线

列表：

xy 2xx

-21 4

-11 2

0 1 1 1 1

1 21 2

2 41 4

1 y 2

41 9x

21 3

y 3

x

31 3

91 9

1 y 3

9

3

描点、连线y

1 y 2

x

1 y 3

x

y 3

x

y 2x

a越大，曲线约往 y轴靠近，且都过定点(0,1)1

关于y轴对称

0

1

x

y

y

y

1 y 2

x

1 y 3

x

y 3x

y 2x

y=ax (a>1)11 0

y=ax (0<a<1)1 1 0 x

x

0

x

归纳

函数

y=ax (a>1)

y=ax (0<a<1)

图 指

数 象 函 定义域 数 R 性 (0, ) 没有最值 值 域 质 没有奇偶性 定 点 ( 0, 1 ) 一 性 在R上是增函数 在R上是减函数 览 质 表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1

口诀左右无限上冲天，永与横轴不沾边.

大 1 增，小 1 减，图象恒过(0,1)点.

学以致用例、比较下列各组数的大小： ①1 3

1.7 ,1.71 2

2.5

3

② ④

0.8 ,0.61.7 ,0.90.3

1.3

1.3

③ a ,a

(a 0, 且a 1)

3.1

1.3 解：③ 1.3 3 1.3 2.5 x 解：② 解：① 1.7 0 、 可以看作函数 y=1.7 y=a 的两个函数值 .81.7 ,0. 6 可以看做是函数 1 1 解：④ x 3 2 在 a 1 =0.8 , 2=0.6下的函数值 ∵1.7>1 当a 1时，y a 是 Ra 上的增函数， a a 0.3>1,而0.93.1<1 ∵1.7 1 1 ∵ ax 1<0 , 上是增函数 a2<0 ∴ y=1.7 在R

1.R 3 上的减函数， 当0 2.5<3 a1.7 1 时， y a 是 又∵ 0.9 ∴函数 y=a 为减函数0.3x3.1

a3 a2

3 ∴ 又∵ 1.72.5 < 1.7 , x=1.3>0

∴0.81.3>0.61.3

比较指数幂大小的方法：①同底异指：构造函数法(一个), 利用函数的单调性, 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左 右两侧的特点。 ③异底异指:寻求中间量

课堂小结函 数 图 2.指数函数的图像和性质 3.指数函数性质的简单应用 思想与方法: 数形结合，由具体到一般函 数 性 质

y

1.指数函数的概念

象a>12.当x=0时，y=13.在R上是增函数

(0,1) x 0 0<a<1

y=1 x

1.定义域为R,值域为(0,+ ). 3.在R上是减函数

4.非奇非偶函数

在第一象限内，按逆时针方向旋 转，底数a越来越大