27.2.2相似三角形的判定(3

是用角角判定三角形相似的课件,很实用的

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相似三角形的判定方法有那些？三个角对应相等 方法1:通过定义 三边对应成比例 方法2:平行于三角形一边的直线与其它两边

相交，所得三角形与原三角形相似 方法3:三边对应比相等 方法4:两边对应比相等且夹角相等

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观 察

观察两副三角尺如图，其中同样角度(30°与 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同， 但它们看起来是相似的.一般地，如果两个三角 形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

一定相似

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如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B',求证: △ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB(或延长线)上，截取 AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,则有 △ADE∽△ABC ∵∠ADE =∠B, ∠B =∠B' A A' ∴∠ADE =∠B' 又∵∠A =∠A',AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' E D ∴△A'B'C'∽△ABC C' B B' C

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相似三角形的识别 用数学符号表示：A A'

∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'BC B' C'

(两个角分别对应相等的两个三角形相似)

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下面每组的两个三角形是否相似？为什么？B①30o

Do o

30 30o

30

E

①

A A E

C

F

②B E30o

B60o

55

o

D ④

A

50

o

D C ③

F

50

o

70

o

F

C

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1. 如图所示： ∠ 1= ∠ 2 = ∠ 3 A 图中相似三角形有△ AED∽△ ADB∽△ ABC

B 2. 判断并说理 (1)顶角相等的两个等腰三角形相似。( ) (2)有一个角为120 °的两个等腰三角形相似。( ) (3)有一个角为80°的两个等腰三角形相似。 C (4)两个等腰三角形相似。( ) 12 3. Rt △ ABC中，CD是 3 4 斜边AB的高，图中相似的 A B D 三角形有 △ ABC ∽ △ACD ∽ △ CBD

E 2

1 D 3 C

√

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8有一个角是80 °的两个等 腰三角形相似吗？

这样的两个三角形 不一定相似.CC80°

A

B

A

80°

80°

B

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练 习

1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角 相等的两个等腰三角形呢？A A'

B

C

B'

C'

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例3 如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P,

求证: PA· =PC· PB PD 证明：连接AC、BD. ∵ ∠A和∠D都是 CB所对的圆周角， A ∴ ∠A=∠D 同理 ∠C=∠B∴ △PAC∽△PDBP O ·

D

PA PC PD PB即 PA· =PC· PB PD

B C

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1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三

角形相似的方法？答(1)相似三角形判定的预备定理

(2)两角对应相等的两个三角形相似。(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

(4)三边对应成比例的两个三角形相似。

2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。

满足一条斜边和一条直角边对应成比例呢？

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定理证明已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中，A ∠C=∠C′=90°, =

求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′

分析：根据勾股定理， AB AC ,就可推出 由

A B ACAB' '

'

'

'

'

B

A B AC B C

AC' '

BC' '

C A′

B′ C′

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探求

新知

直角三角形相似判定定理；如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形 相似。 斜边,直角边对应成比例,两直角三角形相似

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∵ Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中，∠C=∠C′=90°,

A

AB' '

A B AC

AC' '

∴ Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′

B

C A′

B′ C′

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练习二在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′,应 加什么条件？

55° 1、∠A=35° ,∠B′=________。 12 2、AC=5,BC=4,A′C′=15,B′C′=___。 3 3、AB=5,AC=___,A′B′=10, A′C′=6。4、AB=10,BC=6, A′B′=5, A′C′=______. 4

3a 5、AC:AB=1:3, A′C′=a, A′B′=_____

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例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。

求证：ΔACD ∽ ΔABC

∽ ΔCBD 。

证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等，两 三角形相似)。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 C

A

D

B

求证(2)AC2=AD · AB

CD2=AD · DB