第十二章 第1讲 椭圆

第十二章

圆锥曲线

第1讲 椭圆考纲研读 1.充分利用椭圆的定义或待定系数法 1.掌握椭圆的定义、几何图 求椭圆的方程.利用 a,c 的齐次式求 离心率. 2.理解数形结合的思想. 2.研究椭圆的几何性质时要把其方程 化成标准形式. 考纲要求

1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离之和为常数 2a(2a>|F2F2|)的

动点 P 的轨迹叫椭圆，其中两个定点 F1,F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.

2.椭圆的方程与几何性质标准方程 参数关系 焦点 焦距 范围 性 质 顶点 对称性 离心率 准线 x2 y2 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0) a2=b2+c2 ______________ (c,0),(-c,0) (0,c),(0,-c) 2c |x|≤a,|y|≤b |y|≤a,|x|≤b (-a,0),(a,0), (0,-a),(0,a), (0,-b),(0,b) (-b,0),(b,0) 关于 x 轴、y 轴和原点对称 c e=a∈(0,1) a2 a2 x=±c y=±c

3 8 x2 y2 1 2或3 1.若椭圆 2 +m=1 的离心率为2,则实数 m=_____. 3 2.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是4,则此椭圆的标准方程 x2 y2 x2 y2 是______________________. 16+ 7 =1 或 7 +16=1

x2 y2 3.(2011 年安徽合肥第一次检测)以椭圆 4 + 3 =1 的右焦点 F

(x-1)2+y2=4 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_______________.x2 y2 解析：椭圆 4 + 3 =1 的右焦点为 F(1,0),所求圆的半径为 r =a=2,所以(x-1)2+y2=4.

x2 2 4.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y =1 上，顶点 A 是椭

圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的4 3 周长是_______.

x2 y2 5.设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x x2 y2 1 的焦点相同，离心率为2,则此椭圆的方程为___________. 16+12=1

考点1 椭圆定义及标准方程

例 1:①(2011 年新课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 C 的中心为原点，焦点 F1,F2 在 x 轴上，离心率为 2 ,过 F1 作直 线 l 交 C 于 A,B 两点，且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 ____________.

解析：如图 D19 由椭圆定义知△ABF2 的周长 AB+AF2+BF2 =AF1+BF1+AF2+BF2=4a, 2 c ∴4a=16.∴a=4.∵a= 2 , ∴c=2 2.∴b2=a2-c2=8.

x2 y2 ∴椭圆方程为16+ 8 =1.x2 y2 答案：16+ 8 =1

图D19

②若椭圆经过两点 A(0,2)和 __________.解析：设经过两点 ny2=1,

1 B 2,

3 ,则椭圆的标准方程为

1 A(0,2),B 2,

3 的椭圆标准方程为

mx2+

4n=1, m=1, 代入 A,B 得 1 1 4m+3n=1 n=4. y2 2 ∴所求椭圆方程为 x + 4 =1.y2 答案：x2+ 4 =1

求椭圆的关键是确定a,b 的值，常利用椭圆的定 义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆 方程的影响.当椭圆的焦点位置不

明确，应有两种情况，亦可设 方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),这样可以避免分类讨论.

【互动探究】 1.已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为3 2

,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的

x2 y2 36+ 9 =1 方程为___________.

3 解析：∵e= 2 ,∴2a=12,a=6,c=3 x2 y2 圆方程为36+ 9 =1.

3,b=3.则所求椭

考点2

椭圆的几何性质

x2 2 例 2:F1,F2 是 4 +y =1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动， P 则 P F1 · F 2 的最大值是(

)C.2 D.1 3,0), P F1 =

A.4

B.5

解析一：设点 P(x0,y0),则 F1(- 3,0),F2( (- 3-x0,-y0), P F 2 =(

2 2 P 3-x0,-y0), P F1 · F 2 =x0-3+y0=

x2 3 2 3 2 0 2 2 x0-3+1- 4 =4x0-2.又 x0≤4,所以4x0-2≤1.

解析二：本题是关于椭圆的动点到两焦点的向量积的模的最值 问题，可设点 P(2cosα,sinα),转化为三角问题，则由 P F1 =(- 3- P 2cosα,-sinα), P F 2 =( 3-2cosα,-sinα),得到 P F1 · F 2 =3cos2α

-2,从而易得选项 D 正确.

答案：D 本题考查圆锥曲线上动点与两定点构成的向量的 模长范围，对于范围的求解一般是转化为三角(参数方程或三角换

元)求解或转化为某个变量的范围来解或利用极端思想数形结合求解，这个内容在高考中的选择题的难度不大，但比较灵活，是考 查能力的问题，有效地区分了不同考生的数学水平.

【互动探究】 2.(2010 年广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) 4 A. 5 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

解析： 设长轴为 2a, 短轴为 2b, 焦距为 2c, 2a+2c=2×2b. 则 即 a+c=2b (a+c)2=4b2=4(a2-c2). 整理得： 2+2ac-3a2=0, 5c 3 即 5e2+2e-3=0 e=5或 e=-1(舍),选 B.

4x2 y2 3.设 F1,F2 是椭圆 49 + 6 =1 的两个焦点， 是椭圆上的点， P 且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2 的面积为( B ) A.4 C.2 2 B.6 D.4 2

考点3 直线与椭圆的位置关系x2 y2 例 3:(2011 届广东汕头测试)给定椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 称圆心在坐标原点 O,半径为 a2+b2 的圆是椭圆 C 的“伴随 圆”.已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1(- 2,0),F2( 2,0), 椭圆 C 上一动点 M1 满足| M 1 F1 |+| M 1 F2 |=2

3.

(1)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程； (2)过点 P(0, m)(m<0)作直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 只有一个 交点， l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 且 2.求出 m 的值.

解析：(1)由题意得：2a=2

3得 a= 3,半焦距 c= 2,

x2 2 则 b=1.∴椭圆 C 的方程为

3 +y =1. ∴“伴随圆”的方程为 x2+y2=4. (2)设过点 P(0,m)且与椭圆有一个交点的直线 l 为 y=kx+m,

y=kx+m, 2 则 x 整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0 +y2=1. 3 ∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0. 解 3k2+1=m2. ①