八年级数学下册 1.4 角平分线导学案(无答案)(新版)北师大版

1.4角平分线（1）

第 1 课时

（二）学习目标：

1．能够证明角平分线的性质定理、判定定理

2．能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题

（三）重点、难点：

重点：角平分线的性质定理、判定定理

难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题

（四）教学过程

【导入环节】（约2分钟）

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE ， 即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?

【目标出示】（约1分钟）

1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理

2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题

【自学环节】

探究一：性质探索与证明

1.自学指导（约1分钟）让学生看书第28页的内容

2.自主学习（约2分钟）

学生按要求进行自学，教师要注意学生的学习动向，对于疑难问题及时进行提示，注意发现学生所存在的问题，以便在导学中有的放矢，重点解决。

3.教师导学（约5分钟）

请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．

已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，

PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．

求证：P D=PE ．

证明： 21E

D C P O B A

(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)

我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。 (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

探究二：逆向思维，探索判定

1.自主学习（约2分钟）

你能写出这个定理的逆命题吗?

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

2.教师导学（约7分钟）

它是真命题吗? 你能证明它吗?没有加“在角的内部”时，是假命题．

(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)

已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，

求证：点P在么AOB的角平分线上．

证明：

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。

3.巩固应用（约7分钟）

综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范

例题：（见课本29页例1）

随堂练习课本第29页1、2题

【训练环节】（约15分钟）

2

3 1. 与相交的两直线距离相等的点在（ ）

A ：一条直线上

B ：一条射线上

C ：两条互相垂直的直线上

D ：以上都不对

2. 在RT △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB 的距离是________.

3、如图，E 是线段AC 上的一点，AB ⊥EB 于B ，AD ⊥ED 于D ，且∠1 =∠2，CB = CD 。 求证：∠3 =

∠4。

4.如图，AB = AC ，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E 。

求证：BE + EC = AB 。

（五）教学反思 23

1E

D A B C 4

E D A B

4 （一）章节题目：第一章 三角形的证明 1.4角平分线（2） 第 2 课时

（二）学习目标：

1.进一步发展学生的推理证明意识和能力

2.能够利用尺规作已知角的平分线

（三）重点、难点：

重点：角平分线的相关结论

难点：角平分线的相关结论的应用

（四）教学过程

【导入环节】（约2分钟）

问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．

【目标出示】（约1分钟）

1.进一步发展学生的推理证明意识和能力

2.能够利用尺规作已知角的平分线

【自学环节】

探究一：角平分线的相关推论

1.自学指导（约2分钟）让学生看书第30页的内容

2.自主学习（约3分钟）

学生按要求进行自学，教师要注意学生的学习动向，对于疑难问题及时进行提示，注意发现学生所存在的问题，以便在导学中有的放矢，重点解决。

3.教师导学（约5分钟）

已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ，

证明：P 点在∠B AC 的角平分线上．

证明：（让学生在教师指导下证明）

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?

D F M N C B A P

5 （PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

探究二：逆向思维，探索判定

1.自主学习（约3分钟）

如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，

现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，

则可选择的地址有几处？你如何发现的?

2.教师导学（约7分钟）

组织学生思考、交流。

学生1：有一处．在三条公路的交点A 、B 、C 组

成的△ABC

三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交

于一点，且

这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三 条公路的距离相等．这一点刚好符合．

学生2：我找到四处．除了刚才同学找到的三角形ABC 内部

的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB 、∠ABC 外角

的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理

和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的

距离相等．同理还有∠BAC、∠BC A的外角的角平分线的交点P3；因

此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3

3.巩固应用（约7分钟）

例题：（见课本31页例3）

随堂练习课本第31页1题

【训练环节】（约15分钟）

1. 到一个角的两边距离相等的点在 .

2. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC

于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.

3. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 . 引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形Array的面积S= .

4. 到三角形三边距离相等的点是（）

A.三条中线的交点；

B.三条高的交点；

C.三条角平分线的交点；

D.不能确定

5. 已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分别为C.D.E.F，且AC=AD

求证：BE=BF