第4章 平面问题的极坐标解答20120515-1

合肥工业大学本科生教学《弹性力学》

第四章

平面问题的极坐标解答授课班级：勘查10、土木11级

主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)2012年5月

第四章本章要点

平面问题的极坐标解答

要点： (1)极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、 相容方程、边界条件。

徐芝纶院士(1911-1999)

(2)极坐标中平面问题的求解方法及应用 应用：

圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与 变形分析。弹性力学简明教程(第三版)

第四章内容提要

平面问题的极坐标解答

一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式

五、轴对称应力与相应的位移徐芝纶院士(1911-1999)

六、圆环或圆筒受均布压力 七、压力隧洞

八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力 十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)

一 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的微元体 体力： f r , 应力：PA面 PB面

O

f

, r r , r

rd y

r r B

d

r

P r

x

(r dr )d dr A f r r r dr r f

BC面

d r r d r r dr r r r dr r

C

r d d r 应力正向规定：

r r dr r

AC面弹性力学

r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；平面问题的极坐标解答

r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。 4

一 极坐标中的平衡微分方程考虑微元体平衡(厚度为1),将力投影到中心径向轴上：

r d r d dr )( r dr )d r dr cos ( r d )dr cos 2 r 2 O d x d dr sin r 2 d P r r (r dr )d d f r rdrd 0 dr sin dr A r 2 f r r r dr B r 两边同除以 rdrd ,并略去高阶小量： rd

r rd ( r

F

r

0:

f

r 1 r r fr 0 r r r

r d d r

y

C

r r dr r

弹性力学

平面问题的极坐标解答

一 极坐标中的平衡微分方程 dr r dr (r dr )d rd r d dr r r O x r d r d dr r d 2 P r r (r dr )d d

dr A r dr f rdrd 0 r f r r r dr 2 rd B r f 两边同除以 rdrd ,并略去高阶小量： r C 1 r 2 r r dr f 0 y r r r r r d d r 弹性力学 平面问题的极坐标解答 6

F 0:

将力投影到中心环向轴上：

一 极坐标中的平衡微分方程

M 0 r r—— 剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：

O

r 1 r r fr 0 r r C r r r dr y 1 r 2 r r r f 0 d r r r d r

rd

r r B

d

r

P r

x

(r dr )d dr A f r r r dr r f

(4-1)

方程说明：两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物

理学方面的条件才能求解。弹性力学 平面问题的极坐标解答 7

第四章内容提要

平面问题的极坐标解答

一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式

五、轴对称应力与相应的位移徐芝纶院士(1911-1999)

六、圆环或圆筒受均布压力 七、压力隧洞

八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力 十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)

二 极坐标中的几何方程与物理方程1. 几何方程径向线段PA的相对伸长：

O

(1) 只有径向变形，无环向变形。

r P d

dr

P A PA AA PP r1 PA PA y u ur r drr

urB

dr ur

ur r

ur ur d (a) (b)

B

P 1

ur ur dr r A A

x

(r ur )d

径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长：

P B PB (r ur )d rd u r (c) 1 PB rd r 环向线段PB的转角： ur (ur d ) ur BB PP 1 u r (d) 1 tan 1 9 弹性力学 平面问题的极坐标解答 rd PB r

1 0

二 极坐标中的几何方程与物理方程径向线段PA的相对伸长：

O

r1

u r r

(a)

r P d

dr

径向线段PA的转角：

urB y

1 0

(b)

环向线段PB的相对伸长：

ur 1 r环向线段PB的转角：

ur ur d 剪应变为：

B

P 1

ur ur dr r A A

x

(r ur )d

(c)

1 ur 1 r 弹性力学

(d)

1 ur r 1 1 1 r 平面问题的极坐标解答

(e)

二 极坐标中的几何方

程与物理方程O (2) 只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：

P A PA dr dr r 2 PA dr 0(f) 径向线段PA的转角： y

r P d 2

x

dr

B

u u dr u u r 2 dr r环向线段PB的相对伸长：

B

P

u 2

A

(g)

u u d

u A u r dr

2

u 环向线段PB的转角： 2 (i) r u u 弹性力学 剪应变为： r 2 2 2 平面问题的极坐标解答 r r

u u d u P B PB BB PP 1 u rd PB PB r

(h)

(j)

二 极坐标中的几何方程与物理方程(3) 总应变

ur u r 0 r r1 r 2 r r ur 1 u 1 2 r r 1 ur u u r r 1 r 2 r r r u r r r ur 1 u (4-2) r r r 1 ur u u r r r

—— 极坐标下的几何方程

弹性力学

平面问题的极坐标解答

二 极坐标中的几何方程与物理方程2. 物理方程

平面应力情形：

平面应变情形：

1 r ( r ) E 1 ( r ) E 1 2(1 ) r r r G E 1 2 r ( r ) E 1 1 2 ( r) E 1 1 2(1 ) r r r G E平面问题的极坐标解答

(4-3)

(4-4)

弹性力学

第四章内容提要

平面问题的极坐标解答

一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式

五、轴对称应力与相应的位移徐芝纶院士(1911-1999)

六、圆环或圆筒受均布 …… 此处隐藏：1586字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……