2018-2019年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不

3.3 排序不等式

A 级 基础巩固

一、选择题

1．设a ≥b ＞0，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2，则P 与Q 的大小关系是( )

A ．P ＞Q

B ．P ≥Q

C ．P ＜Q

D ．P ≤Q 解析：因为a ≥b ＞0，所以a 2≥b 2＞0.

因此a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2

(排序不等式)，

则P ≥Q .

答案：B

2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min ，8 min ，6 min ，10 min ，5 min ，每台机床停产1 min 损失5 元，经合理安排损失最少为( )

A ．420 元

B ．400 元

C ．450 元

D ．570 元 解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小． 答案：A

3．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2

n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )

A ．A ＞B

B ．A ＜B

C ．A ≥B

D ．A ≤B 解析：依序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 2

1＋

x 2

2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1. 答案：C

4．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则

a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′

的最小值为( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 解析：设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1＞0，

由乱序和不小于反序和，知

a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3

＝3， 所以a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′

的最小值为3. 答案：A

5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )

A ．大于零

B ．大于等于零

C ．小于零

D ．小于等于零 解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，

根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3

a .

又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，

所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab .

所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ，

即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0.

答案：B

二、填空题

6．如图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)

解析：阴影面积为a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积为a 1b 2＋a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案． 答案：≥

7．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0，由排序不等式得：a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .

所以P ≥Q .

答案：P ≥Q

8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．

解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S 1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．

顺序和S 2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．

根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．

答案：19 25

三、解答题

9．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求

a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值． 解：不妨设a 3＞a 1＞a 2＞0，则1a 3＜1a 1＜1a 2

， 所以a 1a 2＜a 2a 3＜a 3a 1.

设乱序和S ＝

a 1a 3a 3＋a 1a 2a 1＋a 3a 2a 2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2

. 由排序不等式得

a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＝1， 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2

的最小值为1. 10．设a ，b ，c 大于0，求证：

(1)a 3＋b 3

≥ab (a ＋b )；

(2)1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc . 证明：(1)不妨设a ≥b ＞0，

则a 2≥b 2

＞0.

所以a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2·a ，

所以a 3＋b 3≥ab (a ＋b )．

(2)由(1)知，同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )．

所以1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1ab （a ＋b ）＋abc ＋1bc （b ＋c ）＋abc ＋1ac （a ＋c ）＋abc ＝1a ＋b ＋c ? ????1ab ＋1bc ＋1ca ＝1a ＋b ＋c ·c ＋a ＋b abc ＝1abc

. 故原不等式得证．

B 级 能力提升

1．已知实数a ≥b ≥c ≥0，且a 3＋b 3＋c 3

＝3，则a b ＋b c ＋c a 的最大值是( )

A ．1

B ．2

C ．3 D. 3 解析：因为a ≥b ≥c ≥0，知a ≥b ≥c ，

由排序不等式，得

a b ＋b c ＋c a ≤a a ＋b b ＋c c .

又(a a ＋b b ＋c c )2≤[(a a )2＋(b b )2＋(c c )2]·(1＋1＋1)＝3(a 3＋b 3＋c 3

)＝9， 所以a a ＋b b ＋c c ≤3.

故a b ＋b c ＋c a ≤3.

答案：C 2．若a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b

的最小值是________． 解析：不妨设a ≥b ＞0，

则有a 2≥b 2，且1b ≥1a

. 由排序不等式b 2a ＋a 2b ≥1a ·a 2＋1b

·b 2＝a ＋b ＝1， 当且仅当a ＝b ＝12

时，等号成立． 所以b 2a ＋a 2b

的最小值为1. 答案：1

3．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数．求证1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.

证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n ， 因为b 1，b 2，…，b n 是互不相同的正整数，

所以b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n ，

又因为1＞122＞132＞...＞1n 2， 所以由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋...＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋...＋b n n 2≥1×1＋2×122＋3×132＋...＋n .1n 2＝1＋12＋13＋ (1)

， 所以原不等式得证．