积分中值定理的推广及应用

第２９卷第５期高师理科学刊Ｖ０１．２９Ｎｏ．５２００９正９月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｅｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＳｅｐ．２００９

文章编号：１００７—９８３１（２００９）０５—０００８—０２

积分中值定理的推广及应用

谢焕田

（临沂师范学院数学系，山东临沂２７６００５）

摘要：将积分中值定理条件中的连续函数推广到导函数，并利用Ｄａｒｂｏｕｘ定理作了详尽的证明，

典型例题说明推广后的定理在处理证明及积分求极限问题时非常简捷直观．

关键词：积分中值定理；导函数；Ｄａｒｂｏｕｘ定理

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ

在微积分学中积分中值定理和微分中值定理一样有着重要的地位，因此得到了广泛的研究“～，但这些研究多是对函数定义域的讨论．本文将积分中值定理条件中的连续函数推广到导函数，并利用Ｄａｒｂｏｕｘ定理给出详尽的证明，典型例题说明推广后的定理不但完善了理论，而且具有很大的实际意义．

１导函数积分中值定理

引理１（Ｄａｒｂｏｕｘ）岬若函数ｆ（ｘ）在【ａ，ｂ】上可导，且∥（口）≠∥（易），ｋ为介于∥（口），ｆ（６）之间的任一实数，则至少存在一点善∈（ａ，ｂ），使得，７（善）＝ｋ．

引理２嗍若，’（ｘ）为【口，易】上的非负导函数，且存在‰∈ｋ，６】使ｆ’（工ｏ）＞０，则必有ｆ。，７（ｘ）ｄｘ＞０．首先给出连续函数的第一积分中值定理

定理１ｍ若，与ｇ都在【ａ，纠上连续，且ｇ（ｘ）在陋，ｂ】上不变号，则至少存在一点孝∈【ａ，易】，使得ｅ，＠）ｇ（ｘ）ｄｘ＝，（孝）艮（ｘ）ｄｘ（当ｇ（ｘ）兰１时，即为原积分中值定理ｘ

将定理１中的连续函数替换为导函数，存在区间由闭区间改为开区间，可得定理２．

定理２若，’（ｘ）为【ａ，ｂ】上的导函数，ｇ（ｘ）为【以，ｂ】上的连续函数，且ｇ（ｘ）在【ａ，ｂ】上不变号，则至少存在一点孝∈（以，易），使得亡，’（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ’（孝）ｆｇ（力出．

证明不妨设ｇ（ｘ）≥０，ｆ’（ｘ）在【ａ，ｂ】上的最大值和最小值分别是Ｍ，ｍ，其中：Ｍ可以取＋∞；ｍ可以取—∞；在口点取∥（口）；在ｂ点取∥（易）．令，＝Ｉ“ｇ（ｚ）血≥０，又ｍｇ（ｘ）≤ｆ’（ｘ）ｇ（ｚ）≤Ｍｇ（ｘ）（ｘ∈【以，ｂ］），则有，，ｌｆ６９＠）ｄｒｆ？，’（石）ｇ（ｘ）出≤ＭｆＸ（ｘ）出．

当，＝０或ｍ＝Ｍ时，任取孝∈（ａ，ｂ）均可．

１．‘

当，＞０或ｍ＜Ｍ时，令“＝÷Ｉ“厂’（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ（ｍ≤“≤Ｍ）．

当ｍ＜ｕ＜Ｍ时，由Ｄａｒｂｏｕｘ定理，至少存在一点孝∈（ａ，ｂ），使，’（孝）＝Ｕ．

当ｍ＝ｕ＜肘时，利用反证法证明存在ｆ∈（ａ，ｂ），使得ｆ’（乎）＝１４．

若对一切的ｚ∈（口，ｂ）有ｆ’（ｚ）一“＞０且Ｊｒ＝ｒｇ（ｚ）血＞０，则ｇ（ｘ）为【口，ｂ】上不恒为零，即存在Ｘｏ∈【口，６】，使ｇ（ｘ。）＞０．由连续函数的保号性存在‰的邻域（ｚｏ一民粕＋万）（当‰＝ａ或ｘｏ＝ｂ时，则

’收稿日期：２００９－０４—１０

基金项目：国家自然科学基金项目（１０９０１０７６）作者简介：谢焕田（１９８２一），男，山东临沂人，助教，硕士，从事偏微分方程数值解研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｅｈｕａｎｔｉａｎ＠１６３．ｃｏｍ

万　方数据

第５期谢焕田：积分中值定理的推广及应用９为右邻域或左邻域），使得对于任意工∈（ｘ。一万，Ｘｏ＋万），有ｇ（ｘ）≥坠岩＞０，则二

ｅ（，ｂ）一“）ｇ（ｚ）出＞ｅ（，ｋ）一“）ｇ（工）出≥型笋嚣（，ｂ）一“）ｄｘ．由引理２，可得联（，ｋ）一Ｈ）血＞０，从而有Ｉ“（，’（力一ｕ）ｇ（ｘ）ｄｘ＞０．

另一方面，０＜亡（厂’（工）一ｕ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ６，’（石）ｇ（ｘ）ｄｘ一“亡ｇ（ｘ）出＝ｕｌ—ｕＩ＝０，出现矛盾，故原命题成立，即当ｍ＝ｕ＜Ｍ时，存在孝∈（ａ，ｂ），使得．厂’（善）＝Ｕ．

证毕．当ｍ＜ｕ＝Ｍ时，同理可证必存在孝∈（ａ，ｂ），使得，’（孝）＝Ｕ成立．

同理可证二阶导函数、ｎ阶导函数对上述导函数的积分中值定理成立，只要把它们看成一阶连续导函数和ｎ一１阶连续导函数的导函数，便可用同样的方法证得．

２定理的应用举例

逋过２个典型例题说ｌ爿导幽甄积分甲但足埋朋应用．

例１设函数，（工）在陋，易】上二次可微，ｉＹ＿明存在～点善∈（ｎ，易），使得ｆ”（善）＝＿兰｜＿ （扫一ａ）。如垆，（半）卜．

证明记‰＝—ａ＋ｒｂ，将被积函数在Ｘ＝Ｘ０处按泰勒公式展开，得，（工）一ｆ（Ｘｏ）＝（工一Ｘｏ）ｆ’（‰）＋

ｆｆ；Ｊ竖二争蔓，一（７７），其中７７在ｘ与‰之间．ｅ（ｘ－ｘｏ）ｆ７（ｘｏ）ｄｘ＝０，所以ｅ（，（工）一，（戈。））出＝ｊ：垦弓芷厂。（７７）出．

对厂”（７７），由定理２得，存在孝∈（口，易），使得ｅ（Ｘ－－Ｘ０）２，”（刁）出＝，”（孝）ｅ＠一‰）２出＝丝｛竽，”（孝），从而＂④＝尚酗矿，（半）卜．

参考文献：例２已知导函数，’（工）在【１，２】上有界，求证牌ｒ，’＠）ｅ－Ｘ＂ｄｘ＝．ｏ．证明导函数，’（ｚ）在［１，２】上有界，所以存在正数Ｍ，对孝∈【１，２】，有Ｉ，’（孝）Ｉ＜Ｍ．由定理２，存在孝。∈（１，２），孝：∈（１，２），使得ｆｆ’＠）ｅ－ｘ＂ｄｘ＝，７（孝，）ｒ，’＠）ｅ－Ｘ＂ｄｘ＝，’（矗）ｅ一彭，从而有ｎｌｉＩＩ】＿－－－。ｏｒ，’（工）ｅ－Ｘ＂ｄｘ＝ｏ．

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［４］刘玉琏．数学分析讲义【明．北京：高等教育出版社，２００３．

［５］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００１．

Ｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ．ｏｆｉｎｔｅｇｒａｌ

ＸＩＥＨｕａｎ—ｔｉａｎ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＬｉｎｙｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎｙｉ２７６００５，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｘｔｅｎｄｅｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｏｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｉｎｔｅｇｒａｌ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｗａｓｐｒｏｖｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｕｓｉｎｇＤａｒｂｏｕｘ’Ｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｙｐｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｓｈｏｗｎｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ

ｈａｎｄｉｎｇａｎｄｐｒｏｖｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｌｌｉｍｉｔｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｋｅｙｗｏｌｄｓ＂－ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｄａｒｂｏｕｘ’ｓｔｈｅｏｒｅｍａｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｉ …… 此处隐藏：1452字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……