高中物理竞赛(运动学)

高中物理竞赛(运动学)

运动学

一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: 微元法

问题：如图所示，以恒定的速率v1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v2是多少？

设在 t（ t 0）的时间内物体由B点运动到C点，绳子与水平面成的夹角由 增大到 + ，绳子拉过的长度为 s1，物体运动的位移大小为 s2。

因 t 0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），

物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v平= v即= s/ t， s1与 s2有什么关系？ 如果取 ACD为等腰三角形，则B D= s1，但 s1 s2cos 。 如果取 ACD 为直角三角形，则 s1= s2cos ,但D B s1。 普通量和小量；等价、同价和高价

有限量（普通量）和无限量 x 0的区别.

x x

设有二个小量 x1和 x2，当1 1, x1和 x2为等价无穷小，可互相代替，当1 普通量, x1

x2 x2 x x

和 x2为同价无穷小，当1 （或2 0）, x2比 x1为更高价无穷小。

x2 x1

在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。 如当 0时，AB弧与AB弦为等价， （圆周角）和 （弦切角）为同价。 如图 OAB为等腰三角形， OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。 sin

ADADABAD

，即sin tan （等价）。 ,tan ,

OAODOAOA

2

1 cos 2sin

2

22

，比 更高价的无穷小量。

回到问题 ：因为DD 为高价无穷小量，绳子拉过的长度 s1=BD=BD ，因直角三角形比较方便，常取

直角三角形。（v2=v1/cos ）

例：如图所示，物体以v1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求 （1）杆与物体接触点P的速率？（v2=v1cos ） （2）杆转动的角速度？（ =v1sin /OP）。

1. 细杆M绕O轴以角速度为 匀速转动,并带动套在杆和固定的AB钢丝上的

小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X时，

x2 d2小环沿钢丝滑动的速度.（答案： ）

d

解:设t时刻小环在C位置,经 t时间( t足够小),小环移动 x,由于 t很小,所以 也很小,于是小环的速度v= x/ t,根据图示关系,CD=OC , x

CO

，OC x2 d2,从上面关系得 cos

x2 d2 x2 d2x2 d2

.

22cos d(d/x d)

xOC OC

v

tcos tcos

2. 用微元法求：自由落体运动，在t1到t2时间内的位移。（答案：

1212

gt2 gt1） 22

1

1

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解：把t1到t2的时间分成n等分，每段为 t,则 t 则v1=gt1+g t, s1=( gt1+g t) t, v2=gt1+2g t, s2=(gt1+2g t) t, vn=gt1+ng t, sn=(gt1+ng t) t,

t2 t1

,且看成匀速。 n

g(t2 t1)21212(n 1)n

s= s1+ s2 + sn=ngt1 t g t gt1(t2 t1) gt2 gt1.

2222

2

若v1=gt1, s1=gt1 t,

v2=gt1+g t, s2=(gt1+g t) t,

vn=gt1+（n-1）g t, sn=[gt1+（n-1）g t] t,

g(t2 t1)21212(n 1)n

s= s1+ s2 + sn=ngt1 t g t gt1(t2 t1) gt2 gt1

2222

2

也可用图象法求解。

3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反

比,当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时,速度是v1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少? （答案：75s）

解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O,OA连线即为x轴正方

向,则坐标x处蚂蚁的速度可表示为v

L1v1(L L)

.将AB连线分成n等份,每等份 x 21.当n很xn

大时,每小段的运动可看成是匀速运动. 每小段对应的速度为v1 得t

L1v1LvL1v1

，v2 11， vn 。 L1L1 xL1 (n 1) x

xv1

xv2

xvn

]

xL1v1

[L1 (L1 x) (L1 2 x) (L1 3 x) ]

2

(L2 L1)(L1 L2)L22 L1 75s

2L1v12L1v1

xn

L1v1

[L1

x(n 1)

2

xn(L1 L2)

L1v1

2

解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度v v1L1即

11

x，1/v-x的图象如图所示。 vv1L1

1, x

L1

2)(L2 L1)2v1v1L1L22 L1

蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面积，t==75s.

22v1L1

(

二.运动的合成与分解

1.相对运动

4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失,汽

艇立即调头航行,并在丢失点下游s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案：s/2t）

以地为参照物,水速为v1,船速为v2,船调头后追上救生圈的时间为t , 对船(v2+v1)t =(v2-v1)+v1(t +t)t，得t =t,所以v1=s/2t. 或以水为参照物,则救生圈静止,t =t,所以v1=s/2t

5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v0射出很多的小球,问(1)这些小球在空

间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少? （答案：不会相碰；2v0t）

解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以v0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二

2

2

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个小球间的距离等于球面的直径,即d=2v0t.

6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升,某时刻在气球正下方距气球为10m的地方有一个石子以v0的

2

初速度竖直上抛(取g=10m/s),石子要击中气球,则v0应满足什么条件?

（答案：v0 10(1 2)m/s）

解法1:设气球的速度为v,开始相距为h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,

速度相等时所用的时间t=(v0-v)/a---(1),

12

则好击中时的位移关系为v0t-gt2=vt+h---(2)

2

解得石子的初速度至少v0 v 2gh 10(1 )m/s.

解法2:以气球为参照物,则初速度v1=v0-v,未速度v2=0,所以(v0-v)=2gh, 解得石子的初速度至少v0 v 2gh 10(1 )m/s.

2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。 求下列各图中v1和v2的关系.

答案依次是：A:v1=v2cos ;B:v1=v2cos ;C:v1cos =v2cos ;D:v2=vtan ;

2

7. 如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的

半径为R，当杆与水平线的交角为 时，求此时： （1）杆上与半圆周相切点C的速度大小。 （2）杆转动的角速度。

（3）杆上AC中点的速度大小。

（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。

vsin2 2

[答案：（1）vcos ；（2）tan sin ；（3）；vcos ；（4）vtan sin ]

4R

解：把A的速度分解成沿杆的速度v1 vcos ，和垂直杆方向速度v2 vsin 。

（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小vC v1 vcos 。 （2）A点对C点的转动速度为v2 vsin ，

vsin vsin v

所以杆转动的角速度为 tan sin 。

ACRcot R （3）vAC

2

v1

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