工程力学ppt 8平面图形的几何性质

工程力学. 上册/毕勤胜,李纪刚主编. —北京：北京大学出版社,2007. 2配套PPT

第8章 平面图形的几何性质 章●8.1 静矩和形心 ● 8.1.1 静矩 ● 8.1.2 形心 ● 8.1.3 组合图形的形心 ●8.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩、极惯性矩和惯性积8.2.1 惯性矩和极惯性矩 ● 8.2.2 惯性积 ● 8.2.3 主惯性轴和主惯性矩、形心主惯性轴和形心主惯性矩 主惯性轴和主惯性矩、 ●8.3 平行移轴公式 ●小结 ●思考题

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●8.1 静矩和形心 静矩和形心密切相关，如果已知静矩，可以确定形心位置； 静矩和形心密切相关，如果已知静矩，可以确定形心位置； 反之亦然。 反之亦然。 ● 8.1.1 静矩 设有一任意截面图形，其面积为A,位于坐标系yOz中(图 设有一任意截面图形，其面积为 ，位于坐标系 中图 8.1)。在坐标 、z处，取一微面积 ，则ydA和zdA分别称为微面 。在坐标y、 处 取一微面积dA, 和 分别称为微面 对于z轴和 轴的静矩。 看做微力， 积dA对于 轴和 轴的静矩。若将 看做微力，则ydA和zdA即相 对于 轴和y轴的静矩 若将dA看做微力 和 即相 当于静力学中的力矩，故称其微静矩。遍及整个截面面积A的积 当于静力学中的力矩，故称其微静矩。遍及整个截面面积 的积 分别称为截面图形对于z轴和 轴的静矩。 轴和y轴的静矩 分SZ、SY分别称为截面图形对于 轴和 轴的静矩。

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Sz = ∫ ydA A (8-1) Sy = ∫ zdA A 静矩是对某一坐标轴而言的， 静矩是对某一坐标轴而言的，同一截面图形对不同坐标轴的

静矩不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。 静矩不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。其量 纲为[长度 长度3],常用单位为m3或 纲为 长度 ，常用单位为 或mm 3。 。 所示半圆形截面对z轴的静矩 【例8.1】 试计算图 所示半圆形截面对 轴的静矩 。 】 试计算图8.2所示半圆形截面对 轴的静矩Sz。 取平行于z轴的狭长条作为微面积 轴的狭长条作为微面积dA, 解：取平行于 轴的狭长条作为微面积 ， d 即dA = 2Rcosθdy ,y = Rsinθ ,y = Rcosθdθ , 因此， 将其代入式(8-1),得 因此， A = 2R2 cos2 θdθ ,将其代入式 ， dSz = ∫ ydA = ∫ Rsinθ × 2R cos θdθ2 2 A π 2 0

2 3 = R 3

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ydA = yC A ∫A zdA = zC A

∫

A

● 8.1.2 形心 静矩可用于确定平面图形的形心位置。 静矩可用于确定平面图形的形心位置。按照静力学条件可 各分力对某轴的力矩之和等于合力对同一轴之矩。 知，各分力对某轴的力矩之和等于合力对同一轴之矩。如前所 此处的dA可视为力 可视为力， 述，此处的 可视为力，因此有 ∫A ydA = yC A (8-2) zdA = zC A ∫A

式中， 为截面的形心在yOz坐标系中的坐标 图8.1),代入 坐标系中的坐标(图 式中，yC、ZC为截面的形心在 坐标系中的坐标 ， 式(8-1),可得

, Sz Sz = yC A 或 yC = A (8-3a) (8-3b) 或 z = Sy Sy = zC A C A 已知截面的面积及形心坐标，即可按式(8-3)计算此截面对于 已知截面的面积及形心坐标，即可按式 计算此截面对于 z轴和 轴的静矩；反之，已知截面面积及截面对于 轴和 轴的静 轴和y轴的静矩 轴和y轴的静 轴和 轴的静矩；反之，已知截面面积及截面对于z轴和 可以确定截面形心的坐标。 矩，式(8-3)可以确定截面形心的坐标。 可以确定截面形心的坐标 由式(8-3)可知：截面对于通过其形心的坐标轴的静矩恒等于 可知： 由式 可知 反之，截面对于某一轴的静矩若等于零， 零；反之，截面对于某一轴的静矩若等于零，则该轴必通过截面 的形心

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● 8.1.3 组合图形的形心 当截面是由若干简单图形组成时，由静矩的定义可知， 当截面是由若干简单图形组成时，由静矩的定义可知，各简 单图形分别对于某一轴的静矩之和， 单图形分别对于某一轴的静矩之和，等于该截面对于同一轴的静 因此，对于形状较复杂的截面， 矩。因此，对于形状较复杂的截面，可将其划分为若干简单图 先计算出每一简单图形的静矩，然后求其代数和， 形，先计算出每一简单图形的静矩，然后求其代数和，即得整个 截面的静矩。设整个截面可划分为n个简单图形 个简单图形， 截面的静矩。设整个截面可划分为 个简单图形，则组合图形形 心坐标的计算表达式为 Ay y C =

∑ ∑Ai i i

i

zC =

∑A z ∑Ai

i

(8-4)

式中，是各分图形的面积； 式中，是各分图形的面积；

yi

、

是各分图形的形心坐标。 zi 是各分图形的形心坐标。

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所示。 的位置。 【例8.2】 截面尺寸如图 所示。试确定截面形心 的位置。 】 截面尺寸如图8.3所示 试确定截面形心C的位置 将截面看成由两个矩形1和 组成 由于截面左右对称， 组成。 解：将截面看成由两个矩形 和2组成。由于截面左右对称，故有 一对称轴。设对称轴为y轴 则截面的形心必然在y轴上 轴上。 一对称轴。设对称轴为 轴，则截面的形心必然在 轴上。为确定 形心在y轴上的位置 先选一辅助坐标轴z, 轴平行于底边 轴上的位置， 轴平行于底边、 形心在 轴上的位置，先选一辅助坐标轴 ，取z轴平行于底边、并 通过矩形2的形心 如图8.3所示 则由式(8-4)可得 的形心， 所示， 通过矩形 的形心，如图 所示，则由式 可得A y1 + A2 y2 0.14× 0.02× 0.08 + 0.1× 0.02× 0 yC = 1 = m=0.0467m A +A 0.14× 0.02 + 0.1× 0.02 1 2

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●8.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩、 惯性矩和惯性积都是对确定的坐标系而言的， 惯性矩和惯性积都是对确定的坐标系而言的，对于不同的坐 标系，它们有不同的数值，具体地说， 标系，它

们有不同的数值，具体地说，极惯性矩是对某一坐标原 点而言，惯性积是对于某一对相互垂直的坐标轴而言。 点而言，惯性积是对于某一对相互垂直的坐标轴而言。 ● 8.2.1 惯性矩和极惯性矩 在截面图形内的任意坐标y、 处取一微面积 处取一微面积dA,如图8.1所 在截面图形内的任意坐标 、z处取一微面积 ，如图 所 示。则z2dA和y2dA分别定义为微面积 对y轴和 轴的惯性矩。整 和 分别定义为微面积dA对 轴和z轴的惯性矩。 分别定义为微面积 轴和 轴的惯性矩 个图形对y轴和 轴和z轴的惯性矩分别为 个图形对 轴和 轴的惯性矩分别为 I y =∫ z2dA A (8-5) 2 Iz =∫ y dA A

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微面积dA到坐标原点 的距离为 dA为微面积 对 为微面积dA对 微面积 到坐标原点O的距离为，定义 到坐标原点 的距离为， 为微面积 O点的极惯性矩，整个图形对 点的极惯性矩为 点的极惯性矩， 点的极惯性矩 整个图形对O点的极惯性矩为 2 (8-6)

IP =∫ ρ dAAA

2 2 由图8.1知 2 由图 知 ρ = x + y,所以有 IP =∫ ρ2dA = ∫ (y2 + z2 )dA = Iz + I y (8-7)A

即图形对任意一对正交 …… 此处隐藏：6074字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……