应用多元统计分析08 对应分析

第八章 相应分析第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 引 言 列联表 相应分析的基本理论 相应分析中应注意的问题 实例分析与计算机实现

第一节 引 言 相应分析(correspondence analysis)也叫对应分析，其特点是

它所研究的变量可以是定性的。通常意义下的相应分析，是 指对两个定性变量(因素)的多种水平进行相应性研究，因 而它的应用越来越广泛，现在这种方法已经成为常用的多元 分析方法之一。 在社会、经济以及其他领域中，进行数据分析时经常要处理 因素与因素之间的关系，及因素内部各个水平之间的相互关 系。例如，评价某一个行业所属企业的经济效益，我们不仅 要研究因素A,即企业按照经济效益好坏的分类情况，以及 要研究因素B,即经济效益指标之间的关系，还要研究哪些 企业与哪些经济效益指标更密切一些。这就需要相应分析的 方法，将经济效益指标和企业状况放在一起进行分类、作图， 以便更好的描述两者之间的关系，在经济意义上做出切合实 际的解释。

相应分析的思想首先由理查森(Richardson)和库德

(Kuder)于1933年提出，后来法国统计学家让-保罗 贝内 泽(Jean-Paul Benzé cri)等人对该方法进行了详细的论述 而使其得到了发展。为了把握相应分析方法的实质，本章将 从列联资料入手，介绍一些基本概念和相应分析的基本理论， 并让读者理解相应分析与独立性检验的关系，进一步明确对 实际问题进行相应分析研究的必要性所在。

第二节 列联表

一 列联表的概念

二 有关记号

一、列联表的概念 在实际中经常要了解两组或多组因素(或变量)之间的关系。

设有两组因素A和B,其中因素A包含r个水平，即A1, A2,…,Ar;因素B包含c个水平，即B1 , B2 , …,Bc 。又 设有受制于这两个因素的载体(或客体)的集合总体¥。我们 希望通过对总体¥关于这两组因素的有关资料(或抽样资料), 来分析这两组因素的关系。 例如，要考查在某个人群中关于吸烟或不吸烟(因素A)与得 肺癌或不得肺癌(因素B)两组因素之间的关系。通常的作法 是，随机地从该人群中抽样，对这两种因素进行调查，设调 查了k个人，得到一个二维列联表，见表8.1。

因素 A

因素 B 得肺癌( B1 ) 不得肺癌( B2 )

吸烟( A1 ) 不吸烟( A2 )

k11

k12 k22 k.2

k1. k 2.

k21 k.1

k k.. kij

表8.1

二维列联表

其中，kij为调查的k人中出现因素A的第i个水平和因素B的第

j个水平的人数。这样，我们就得到一个两因素，即吸烟与 是否得肺癌的2 2列联表。

一般地，设受制于某个载体总体的两个因素为 A 和 B ,其中

因素 A 包含 r 个

水平，即 A1 , A2 , Ar ;因素 B 包含 c 个水 平，即 B1 , B2 , Bc 。对这两组因素作随机抽样调查，得到 一个 r c 的二维列联表，记为 K (kij ) r c ,见表 8.2。 在表 8.2 子中， ki.

kij 表示因素 A 的第 i 个水平的样本个j 1

c

数 ； k. j

ki 1

r

ij

表示 因素 B 的 第 j 个水 平的样 本个数；

k k.. kij 表 示 总 的 样 本 个 数 。 这 样 我 们 便 称K (kij ) r c 为一个 r c 的二维列联表。

因素 B

B1 A1因 素

B2

Bck1c

k11

k12 k22

k1. k 2.

A2

k21

k2c

A

Ar

k r1

kr 2 k.2

k rc

kr.

k.1

k.c

k k.. kij

表8.2

一般的二维列联表

二、有关记号 为了叙述方便，先引进一些基本概念和记号。 设K=(kij)r c为一个r c的列联表(表8.2),称元素kij为原始频因素 B

数。将列联表K转化为频率矩阵，记为F=(fij) r c ,见表8.3。

B1 A1因 素

B2

Bc f1c f 2c

f11 f 21

f12 f 22

f1.f 2.

A2

A

Ar

f r1 f.1

fr 2f.2

f rcf.c

fr.

1 f.. f ij

表8.3 一般的二维频率表

表 8.3 中

fij kij / k 是样本中属于因素 A 的第 i 个水平和

因素 B 的第 j 个水平的百分比；fi.

fj 1

c

ij

,f. j

fi 1

r

ij

,

i 1, 2, , r , j 1, 2, , c 。这里我们记 f r ( f1. , f 2. , , f r . ) , f c ( f.1 , f.2 , , f.c ) ,

Dr diag ( f1. , f 2. , , f r . ) diag ( f r ) , Dc diag ( f.1 , f.2 , , f.c ) diag ( f c )那么有，

f r FI c , f c F I r I r f r I f c I FI c 1 c r其中 I r (1,1, ,1) 1 , I c (1,1, ,1) 1 。 r c

(8.1) (8.2)

从数理统计的角度，K 可视为对两个随机变量(记为 和 )

调查得到的二维列联表， 频率矩阵 F 则表示它们相应的经验 联合抽样分布为 P{ i, j} fij , i 1, 2, , r , j 1, 2, , c 其 中 与 分 别表 示因 素 A 和 因素 B 的 随 机变 量 。

( f1. , f 2. , , f r . ) 和 ( f.1 , f.2 , , f.c ) 分别为二维随机变量( ,的抽样边际分布。 在此， 我们称 Dr 和 Dc 分别为 和 的 ) 边际阵。那么，有条件概率为

P{ i, j} fij P{ j | i} , j 1, 2, , c P{ i} f i.

在此称

fi1 fi 2 fic (8.3) f ci , , , Rc fi. fi. fi. 1 为因素 A 的第 i 个水平分布轮廓。称 Dr F 为因素 A 的轮廓矩阵 。 这 里 应 该 注 意 到 ， f c , i 1, 2, , r 是 超 平 面i

x1 x2 xr 1 的一点集。 同理，因素 B 的第 j 个水平的分布轮廓为

f1 j f 2 j f cj fr j , , , R r f f. j f. j

.j

(8.4)

并称 Dc 1F 为因素 B 的轮廓矩阵，同样

f r j , j 1, 2, , c 是

超平面 y1 y2 yc 1 的一点集。这里有

P{ i, j} fij P{ i | j} , i 1, 2, , r P{ j} f. j最后，由(8.1)式和(8.2)式我们应该明确 Dr I r FI c , I r Dr I r = I r FI c = 1 , (8.5)

Dc I c F I r ,

I c Dc I c I c F I r 1 , (8.6)

从(8.5)式和(8.6)式我们清楚地看到， Dr 和 Dc 中的元素 起到了权重的作用，称其为权重矩阵。

第三节 相应分析的基本理论

一 原始资料的变换

二 基于矩阵的分析过程

我们知道相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A和列因

素B的基本分析特征和它们的最优联立表示。为了实现行因 素A与列因素B最优联立表示，进一步剖析行因素A内部之间， 列因素B内部之间，以及因素A和列因素B之间的关系，这里 将介绍原始的列联资料K=(kij) r c变换成矩阵Z=(zij) r c的具 体过程，这样使得zij对因素A和列因素B具有对等性，在此基 础上进行相应分析。

一、原始资料的变换 设K

(kij ) r c 为一个 r c 的列联资料，其转化后的频率矩

阵为 F ( f ij ) r c 。我们针对因素 A 而言，由(8.3)式知， 第 i 个 水 平 分 布 轮 廓 f ci R c

i 1, 2, , r 为 超 平 面

x1 x2 xr 1 的一点集。如果我考虑因素 A 中各水平之 间的远近，引入欧氏距离，那么第 i 个水平和 …… 此处隐藏：1933字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……