扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学

扬州市2017-2018学年第一学期期末检测试题

高三数学

2018.2

第一部分

一、填空题

1. 若集合A = x 1<x <3 ，B = 0,1,2,3 ，则A ∩B =___________。

2. 若复数 a ?2? 1+3? 是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100

名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直

方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的

人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为

__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足

x ≤4

y ≤33x +4y ≥12

，则x 2+y 2的取值范围是________。 9. 已知各项都是正数的等比数列 a n 的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等

差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2

a 2?y 2

b 2=1 a >0,b >0 的渐近线

与圆x 2+y 2?6y +5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是

__________。

11. 已知函数f x =sin x ?x +

1?4x 2，则关于x 的不等式f 1?x 2 +f 5x ?7 <0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ?AQ =1，则 CQ

的最大值为_________。 13. 已知函数f x = log 12 ?x +1 ?1,x ∈ ?1,k

?2 x ?1 ,x ∈ k ,a

，若存在实数k 使得该函数的值域为 ?2,0 ，

则实数a 的取值范围是_______。 14. 已知正实数x ,y 满足5x 2+4xy ?y 2=1，则12x 2+8xy ?y 2的最小值为_________。 提示：5x 2+4xy ?y 2=11)5)((=-+?y x y x ，令)0,0(5,>>=-=+n m n y x m y x

则12x 2+8xy ?y 2=37366632736366272222≥++=++n m n mn m

二、解答题

15.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别为AB,AC的中点，

(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE。

16.已知在ΔABC中，AB=6,BC=5，且ΔABC的面积为9

(1) 求AC；

的值。

(2) 当ΔABC为锐角三角形时，求cos2A+π

6

17. 如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q分别

、半径为1千米。为了方便在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即∠POQ）为2π

3

菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计。

(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围：

(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值。

18.已知椭圆E1:x2

a2+y2

b2

=1a>b>0，若椭圆E2:x2

ma2

+y2

mb2

=1a>b>0,m>1，则称椭圆E2

与椭圆E1“相似”。

(1) 求经过点2,1，且与椭圆E1:x2

2

+y2=1“相似”的椭圆E2的方程；

(2) 若m=4，椭圆E1的离心率为2

2

，P在椭圆E2上，过P的直线l交椭圆E1于A,B两点，且AP=λAB，

①若B的坐标为0,2，且λ=2，求直线l的方程；

②若直线OP,OA的斜率之积为?1

2

，求实数λ的值。

19.已知函数f x=e x,g x=ax+b,a,b∈R

(1) 若g?1=0，且函数g x的图像是函数f x图像的一条切线，求实数a的值；

(2) 若不等式f x>x2+m对任意x∈0,+∞恒成立，求实数m的取值范围；

(3) 若对任意实数a，函数F x=f x?g x在0,+∞上总有零点，求实数b的取值范围。

20.已知各项都是正数的数列a n的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n，数列b n满足b1=1

2

，

2b n+1=b n+b n

a n

。

(1) 求数列a n、b n的通项公式；

(2) 设数列c n满足c n=b n+2

S n

，求和c1+c2+?+c n；

(3)是否存在正整数p,q,r p<q<r，使得b P,b q,b

Γ

成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p,q,r，若不存在，请说明理由。

扬州市2017-2018学年第一学期期末检测试题

高三数学

2018.2

第二部分（加试部分）

21.B．已知x,y?R，若点M1,1在矩阵A=2x

3y对应变换作用下得到点N3,5，求矩阵A的逆矩

阵A?1。

C．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：x=m+2

2

t

y=2

2

t

（t是参数，m是常数）。以O为极点，

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ。

(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2) 若直线l与曲线C相交于P,Q两点，且PQ=2，求实数m的值。

22.扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所。

(1) 求6名大学生至少有1名被分配到甲校学习的概率；

(2) 设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ=X?Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望值Eξ。

23.二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，S n是所有n位二进制数构成的集合，对于a n,b n∈S n，M a n,b n表示a n和b n对应位置上数字不同的位置个数。例如当a3=100,b3=101时M a3,b3=1，当a3=100,b3=111时M a3,b3=2，(1) 令a5=10000，求所有满足b5∈S5，且M a5,b5=2的b5的个数；

(2)给定a n n ≥2 ，对于集合S n 中所有b n ，求M a n ,b n 的和。

扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题

高三数学 参 考 答 案2018.2

第一部分

1.{}22．6- 3.24.2405.94

6.238.144[,25]259.1327 10. 3(1,)2

11.(2,3)1(,2]214.73 15.证明：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC ……2分 在ABC ?中，,D E 分别为

,AB AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE ，.………4分 又11B C ?平面1A DE ，DE ?平面1A DE ，

所以11//B C 平面1A DE .………7分

⑵在平面

11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ， 因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ?平面

11A ABB ，所以AF ⊥平面1A DE ， .………11分

又DE ?平面1A DE ，所以AF DE ⊥，

在直三棱柱

111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，DE ?平面ABC ，所以1A A DE ⊥， 因为

1AF A A A = ，AF ?平面11A ABB ，1A A ?平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ， 因为AB ?平面11A ABB ，所以DE AB ⊥。 .………14分 注：作1AF A D ⊥时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣1分

16． 解：⑴因为S △ABC =1sin 92

AB BC B =创，又AB =6，BC =5，所以3sin 5B =，………2分

又B (0,)π∈，所以4cos 5B ==±

， ………3分< …… 此处隐藏：8404字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……