数值分析英文版课件 (1)

哈工大,考研,金属学及热处理,材料成型及控制工程,焊接

今日课题

第六章 插值法 第八章 数值积分与数值微分

8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5 Gauss型求积公式

8.5.1 Gauss型求积公式 8.5.2 Gauss型求积公式的稳定解的收敛性 8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式

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8.5 Gauss 型求积公式(1)

Newton –Cotes 求积公式b

a

f ( x )dx ( b a ) C i( n ) f ( xi( n ) ) E n ( f )k 0

n

其中求积节点xi 是等距分布的。

(n)

, i 0 ,1 , , n

C i( n ) 为Cotes求积系数。En(f) 为积分余项。

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8.5 Gauss 型求积公式(2)

利用定理8.1.5可知，当 n 为偶数时，NewtonCotes求积公式的代数精度为 n+1, 例如，Simpson公式的代数精度为3;

当n为奇数时，Newton-Cotes求积公式的代数精 度为 n, 例如梯形公式的代数精度为1。由此可见，n+1 个等距节点的求积公式的代数精 度至多为 n+1。

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8.5 Gauss 型求积公式(3)

对于给定的节点数目 n+1,适当调整其位置，是 否会提高求积公式的代数精度？ 例8.5.1 对于求积公式

1

f ( x )dx A

1

0

f ( x0 ) A1 f ( x1 )

试确定其节点 x0, x1 及求积系数 A0, A1,使其代 数精度尽可能高

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8.5 Gauss型求积公式(4)

解 令上述求积公式对于 f(x)=1, x, x2, x3 准确成立， 得出 A0 A1 2 A x A x 0 0 0 1 1 2 2 2 A0 x0 A1 x1 3 3 3 A0 x0 A1 x1 0

(*)

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8.5 Gauss 型求积公式(5)3 3 经计算，取节点为 x0 , x1 3 3 且 A0=A1=1

得出求积公式

1

1

f ( x )dx f (

3 3 ) f ( ) 3 3

具有三次代数精度

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8.5 Gauss 型求积公式(6)

2 个节点，代数精度能够为 3, 那么 n+1 个节点 x0, x1, , xn,通过节点的排列， 是否可以把代数精度从 n 或 n+1 增加到 2n+1 ?

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8.5.1 Gauss 型求积公式(7)

考虑定积分 ba

(

x ) f ( x )dx

其中 (x) 为 [a, b] 上的权函数，设 n+1 个节点为 a x0 <x1< xn =b

在节点上 f(x) 的值为 f(x0), f(x1), , f(xn)

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8.5.1 Gauss 型求积公式(8)由此可以构造 n 次 Lagrange 插值多项式 Ln(x) , Ln(xk) = f (xk) , k=0,1, ,n 其中

Ln ( x )

k 0 n

n

f ( x k )l k ( x ) x xj

lk ( x )

j 0 j k

xk x j

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8.5.1 Gauss 型求积公式(9)

f(x) 可以表示为n k 0

f ( x ) f ( xk )l k ( x )

1 f ( n 1 ) ( ( x )) n 1 ( x ) ( n 1 )!

由 (x) 乘上式并在区间 [a, b] 上积分，有b n

( x ) f ( x )dx Aa b k 0

k

f ( xk )

1 ( x ) f ( n 1 ) ( ( x )) n 1 ( x )dx ( n 1 )! a

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8.5.1 Gauss 型求积公式(10)

其中

Ak ( x )lk

( x )dxa

b

可以看出，取 f(x) 为 1, x, ,xn 时，式中的余项1 En ( f ) ( x ) f ( n 1 ) ( ( x )) n 1 ( x )dx 0 ( n 1 )! ab

此时有

( x ) f ( x )dx Aa k 0

b

n

k

f ( xk )

即求积公式至少具有 n 次代数精度。11

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8.5.1 Gauss 型求积公式(11)

通过节点 x0, x1, ,xn 的选取, 将讨论求积公式的 代数精度 n 次 或 n+1次 提高到 2n+1 次。 设 f(x) 为 2n+1次多项式， 有 En(f)=0, 那么求积公式

( x ) f ( x )dx Aa k 0

b

n

k

f ( xk )

至少具有 2n+1 次代数精度。

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8.5.1 Gauss 型求积公式(12)

考察误差 En(f) 的表达式，当 f P2n+1 时， f(n+1)(x) 为 n 次多项式。 若要求

( x ) p( x ) a

b

n 1

( x )dx 0,

p Pn

相当于要求 n+1(x) 与每个 p pn 都正交。 如果 n+1(x) 取为 [a,b] 上以权函数 (x) 的n+1 次 正交多项式，那么就有上式。13

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8.5.1 Gauss 型求积公式(13)

定理8.5.1

插值型求积公式

( x ) f ( x )dx Aa k 0

b

n

k

f ( xk )

具有 2n+1 次代数精确度的充分必要条件是 求积公式的节点 x0, x1, , xn 是 [a, b] 上，权函数 为 (x) 的 n+1 次正交多项式 的零点.

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8.5.1 Gauss 型求积公式(14)

定义8.5.1

若 n+1 个节点的求积公式 ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) k 0a

b

n

具有最高代数精度为 2n+1 , 则称其为 Gauss 型求积公式， 此时的节点 x0, x1, , xn 称为 Gauss点。15

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8.5.1 Gauss 型求积公式(15)

例8.5.3

确定Gauss求积公式1

1

f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )

中的节点 x0 , x1 及求积系数 A0 , A1