§5.1多元函数概念

多元函数概念

第五章数开 启 科 学 大 门 的 钥 匙

多元函数微分学学

及其应用

多元函数概念

§5.1 多元函数概念.1. 5.1.1 n 维欧几里得空间的简单知识

(一)n 维欧几里得空间n 元有序实数组 ( x1 , x 2 , x n ) 的全体为 n 维实空间 记为 R n , 空间,

即特殊地

R n = {( x1 , x 2 , x n ) xi ∈ R, i =1,2, , n }。R 2 = {( x, y ) x ∈ R, y ∈ R} ,3

R = {( x, y, z ) x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R},R n 中两点 P1 ( x1 , x 2 , x n ) , P2 ( y1 , y 2 , y n ) 间的距离

规定为 P1 P2 = ( y1 x1 ) 2 + ( y 2 x 2 ) 2 + + ( y n x n ) 2 ,

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记为 ρ( P1 , P2 ) ,即 ρ ( P , P2 ) = 1

( yi xi ) 2 。 ∑i=1

n

可以证明距离 ρ( P1 , P2 ) 满足下列性质： (1)非负性 ρ( P1 , P2 ) ≥ 0 , ρ( P1 , P2 ) = 0 P1 = P2 ; 非负性 (2)对称性 ρ( P1 , P2 ) = ρ( P2 , P1 ) ; 对称性 (3)三角形不等式 ρ( P1 , P2 ) ≤ ρ( P1 , P3 ) + ρ( P2 , P3 ) 三角形不等式 定义了距离之后的 n 维空间 R n 称为 n 维欧几里得空间 维欧几里得空间。

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R n 中的点 X ( x1 , x 2 , x n ) 唯一确定了以 O (0,0, 0) 为

起点， X ( x1 , x 2 , x n ) 为终点的向量，常称 R n 中的元素X ( x1 , x 2 , x n ) 为一个 n 维向量 ，记

X =

xi 2 为 n 维向量 X 的模 。 ∑i =1n

n

(二)邻域设点 M , M ∈ R , δ > 0 ,点M 的 δ 邻域为 N ( M , δ) = {M ρ( M , M ) < δ} ,

点M 的去心 δ 邻域为

N ( M ,δ) = {M 0 < ρ( M , M ) < δ}。

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在 R 2 中，N ( M , δ) = {M ρ( M , M ) < δ} 2 2 = ( x, y ) ( x x ) + ( y y ) < δ .

yM

δ

M

o

x

若不需要强调 邻域半径 δ ,则用 N ( M )表示点 M的 δ 邻域 ，用 N ( M ) 表示点 M 的去心 δ 邻域 。

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(三)开集、闭集、区域 开集、闭集、设点集 E R , M ∈ R 。n

外点 内点

n

E边界点

内点：若 δ > 0, 使N ( M , δ ) E ,则称 M 是 E 的 内点。 内点外点： 外点：若 δ > 0, 使N ( M , δ ) ∩ E = φ ,则称 M 是 E 的 外点。

边界点：若 M 的任何 δ 邻域 N ( M , δ) 中既有 E 中的 边界点 点，又含有 E c 中的点，则称 M 是 E 的 边界点。E 的边界点的全体称为 E 的边界。

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(4)有界集与无界集 有界集与无界集：若存在 有界集与无界集 原点 O 的某个 L 邻域 N (O, L) , 使 E N (O, L) ,则称 E 为有 界集，否则称 E 为无界集。

(5)开集：若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集。 开集： 开集(6)聚点：若在 M 的任一 δ 邻域 N ( M , δ) 中至少含有 聚点： 聚点E 的 一个异于 M 的点，则称 M 是 E 的 聚点。

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(7)闭集 闭集：若 E 的所有聚点都在 E 内，则称 E 是闭集。 闭集

(8)连通的：设 E 是一个开集，如果对于 E 内任何两点， 连通的： 连通的 都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 E

, 则称开集 E 是连通的。(9)区域(或开区域) 连通的开集称为区域(或开区域) 区域(或开区域) : 。 区域

(10)闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。 闭区域： 闭区域

区域 E 的直径： d = sup{ ρ ( P1 , P2 ) P1 , P2 ∈ E }

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.1. 的映射、 5.1.2 Rn →Rm 的映射、n 元函数与向量值函数n m 、 一 R →R 的 射 映

定义：设点集 E R n ,如果存在一个 对应法则 f ,对 定义 X ( x1 , x 2 , x n ) ∈ E ,有唯一的元素 Y ( y1 ,y 2 ,..., y m ) ∈ Rm

与 X 对应，则称 f 是 E 到R m 的映射，记为f : E → Rm , X Y = f (X ) 。定义域， E 称为 f 的定义域 定义域 值域。 f ( E ) = {Y Y = f ( X ), X ∈ E } 称为 f 的 值域

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元函数、 二、n 元函数、向量值函数当 m =1 时， f : E → R ,X ( x1 , x2 , xn ) y = f ( X ) = f ( x1 , x2 , xn ) ,

称 f 是n 元函数 (或称 n 元数量值函数)。若 n = 2 ,称 f 为二元函数，简记为 y = f ( x1 , x 2 ) ;

若 n = 3 ,称 f 为三元函数，简记为 y = f ( x1 , x 2 , x3 ) 。当 m ≥ 2 时， X ( x1 , x 2 , x n ) 与 Y ( y1,y 2 ,..., y m )分别为 n 维 、m 维 向量，

yi = f i ( X ) = f i ( x1 , x 2 , x n ) ( i =1, 2, , m ) ,

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于是 f 也可用坐标表示为：y1 = f1 ( x1 , x 2 , x n ) , y 2 = f 2 ( x1 , x 2 , x n ) , y m = f m ( x1 , x 2 , x n ) 。并称 f i 是 f 的第 i 个 分量 将 f 记为 f = ( f1 , f 2 , f m ) , 分量。由于 f 在点 X 的值是一个向量 ( f1 ( X ), f 2 ( X ), f m ( X )) , 故把 R n → R m的映射 f 称为 n 元 m 维 向量值函数。

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例 1.确定并画出下列函数的定义域 D。

y

(1) z = ln( x y +1) x + y x y +1 > 0 解： x+ y≥0

y = x

oy = x +1

x

y < x +1 , y ≥ x

∴函数 z = ln( x y +1) x + y 的定义域为D = {( x, y ) y < x +1, y ≥ x}

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(2) u = ln(1 x 2 y 2 z 2 )z

ox

y

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二元函数的 图形

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例

z = sin xy

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5.1.3 复变函数数域与复 三、复数域与复数的表示法

复数集： C = z = x + i y x , y ∈ R x = Re z , y = Im z , i =

{

} 1

复数集 C中的四则运算满足：加 法与乘法的交换律， 分配律，且复数集中有 零元 (0),单位元 (1)及逆元( z 1 ), 于是复数集 C构成一个数域 复数域 C复数 z = x + iy 有序数组 ( x , y ) 复数域 复平面