线性代数练习题——向量与线性方程组

线性代数练习题

练习题(三)向量与线性方程组

2007-12-28

国际关系学院

线性代数练习题

(一)向量β能否由α1,α 2,α 3表示出来?若可以表示，请写出表达式。

⑴α1= (1,3,2),α 2= (3,2,1),α 3= ( 2, 5,1),β= (4,11,3)⑵α1= (0,1, 1),α 2= ( 1,0,1),α 3= (1, 1,0),β= (1,1, 2)⑶α1= (1,1,1,1),α 2= ( 1,0,2,1),α 3= (1,2,4,3),β= (2,0,0,3)

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α1= (1,3,2),α 2= (3,2,1),α 3= ( 2, 5,1),β= (4,11,3)解(1)令α1,α 2,α 3的一个线性组合等于β,即有 k1, k 2, k3使 k1α1+ k 2α 2+ k3α 3=β用分量写出

是k的线性方程组，又可写成： AX=b。其中 k1 X= k2 k 3 2007-12-28国际关系学院

4 b= 11 3 3

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下面用初等变换法解矩阵方程从而求得 k1, k 2, k3。

(A,b)=

由最后的矩阵(A化为单位阵)得： k1= 2, k 2= 0, k3= 1即β= 2α1 α 3。且表示式唯一。2007-12-28国际关系学院 4

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α1= (0,1, 1),α 2= ( 1,0,1),α 3= (1, 1,0),β= (1,1, 2)⑵. (A,b)=

则有

β=α1 α 2

(此线性组合表示式不唯一,如β= 2α1+α 3 )2007-12-28国际关系学院 5

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α1= (1,1,1,1),α 2= ( 1,0,2,1),α 3= (1,2,4,3),β= (2,0,0,3)⑶.

(A,b)=

R(A)≠R(A,b)线性方程组无解，即β不能由α1,α 2,α 3线性表出。2007-12-28 6

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(二)向量组β1,β 2,β 3可由向量组α1,α 2,α 3线性表示。

试将向量组α1,α 2,α 3由β1,β 2,β 3线性表示解

(A,b)=2007-12-28国际关系学院 7

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解法二 1 1 1 1 1 2 1 1 1 = 0 1 1 1 1 2 0 1 2 1 2

1 Q 1 1

1 1 1

1 1≠ 0 1

1 2 1 2 0

1 α1 2 α 2 = 0 α 1 3 22007-12-28

1 2 1 2 0

0 1 2 1 2

β1 β2 β 3 9

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(三) .(判断题) 1、向量组α1, L,α s (s≥ 2 )中，至少有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组α1, L,α s线性相关； 2、向量组α1, L,α s (s≥ 2 )线性相关的充要条件是：组中任一向量均能被其余向量线性表示。 3、如果存在不全为0的数 k1, L, k s,使 k1α1+ L+ k sα s≠ 0,则α1, L,α s线性无关。 4、若对任一组不全为0的数 k1, L, k s总有 k1α1+ L+ k sα s≠ 0,则向量组α1, L,α s线性无关。2007-12-28国际关系学院 10

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5、如果存在数 k1= 0, L, k s= 0有 k1α1+ L+ k sα s= 0,则向量组α1, L,α s线性无关 6、如果向量组α1, L,α s的一个线性组合等于0向量。则向量组α1,L,α s线性相关。 7、如果存在一组全不

为0的数 k1, L, k s,使 k1α1+ L+ k sα s= 0,则α1, L,α s线性相关。

8、α1, L,α s (s≥ 2 )线性无关的充要条件是：任意两个向量均线性无关。

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本命题：由α1, L,α s线性无关当然有任意两个向量均线性无关。(如若不然，有某两个相关，则肯定全组相关了。)但任意两个无关，全组未α必无关，如： 1= (1,0 ),α 2= (0,1),α 3= (1,1)显然满足两组无关，但α1,α 2,α 3是相关的， 3=α1+α 2α

答案：1对，2错，3错，4对，5错，6错， 7对，8错。

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(四) (选择题)设矩阵A为m×n矩阵，R(A)=r<n,则[ c] (a) A的列向量组中，任意r个向量线性无关。 (b) A的列向量组中，任一向量可由其他r个列向量线性表示。 (c) A的列向量组中，任意r+1个列向量线性相关。 (d) A的任一r阶子式不等于0。

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矩阵的秩=r=列秩。列向量组的秩为r。有某r个列向量无关。但任意r+1个列向量必相关。不能得到任意r个列向量无关。(a)不成立。由r<n,列向量组线性相关，也只能得出“至少有一个列向量可由其余向量线性表示。(b)不成立。 R(A)=r,是说至少有一个r阶子式不为0.(d)不成立。 (a)、(b)、(d)均不成立，应选(c)。

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(五).选择题⑴、齐次线性方程组Ax=0(A为m×n矩阵)仅有零解的充要条件为A的[ c] a、行向量线性无关; b、行向量线性相关 c、列向量线性无关; d、列向量线性相关⑵ A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是[ b] a、r=n; b、r<n d、r>n c、r≥n;

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(六) (选择题)向量组α1,α 2,L,α s的秩为r,则下列结论那个不一定成立。[ c] (a)向量组α1,α 2,L,α s中至少有一个r个向量的部分组线性无关。 (b)向量组α1,α 2,L,α s中任何r个向量的线性无关部分组与α1,α 2, L,α s可互相线性表示。 (c)α1,α 2, L,α s中r个向量的部分组均线性无关。 (d)α1,α 2,L,α s中r+1个向量的部分组均线性相关。答：只有(c)未必成立。而a、b、d都是成立的。2007-12-28国际关系学院 16