【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题一 第3讲函数与方程及函

【步步高】2012届高考数学二轮复习

第3讲 函数与方程及函数的应用

(推荐时间：60分钟)

一、填空题

2，x>0，

1．(2011·福建改编)已知函数f(x)＝

x＋1，x≤0，

x

若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的

值为________．

2

2．(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝．．________.

3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________． 4．方程2＋x＝3的实数解的个数为________．

1 1 5．函数f(x)对一切实数x都满足f x ＝f x ，并且方程f(x)＝0有三个实根，则 2 2 这三个实根的和为________．

6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13

x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．

3

7．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时f(x)＝|x|，则方程f(x)＝lg|x|的解的个数为______．

8．设a>1，函数y＝|logax|的定义域为[m，n] (m<n)，值域为[0,1]，定义“区间[m，n]

5

的长度等于n－m”，若区间[m，n]长度的最小值为，则实数a的值为________．

6

2 ， x≥2，

9．(2011·北京)已知函数f(x)＝ x

(x－1)3， x<2.不同的实根，则实数k的取值范围是________．

10．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N)，则k的值为________．

11．设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为____________．

二、解答题

12．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为

1

时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20|t－

210|(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；

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- 1 -

*

－x

2

若关于x的方程f(x)＝k有两个

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(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

14．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20 km，

CB＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A，B等距

离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km.

(1)按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式．

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

答 案

1

1．－3 2．3或4 3．a>a<－1

53

4．2 5. 6．9 7．18 8．6

29．(0,1) 10．3 11．{0,3,14,30} 12．解 (1)y＝g(t)·f(t)

1

＝(80－2t)·(20－|t－10|)

2＝(40－t)(40－|t－10|)

(30＋t)(40－t)， 0≤t<10，＝ (40－t)(50－t)， 10≤t≤20.

(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]， 在t＝5时，y取得最大值为1 225；

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]， 在t＝20时，y取得最小值为600.

答 总之，第5天日销售额y取得最大值为1 225元；第20天日销售额y取得最小值为600元．

13．解 (1)当0<x≤100时，p＝60； 当100<x≤600时，

p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

60， 0<x≤100，∴p＝

62－0.02x， 100<x≤600.

- 2 -

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(2)设利润为y元，则

当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；

当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x.

20x， 0<x≤100，∴y＝ 2

22x－0.02x， 100<x≤600.

2

当0<x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000； 当100<x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000. 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 14．解 (1)延长PO交AB于Q，

①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝AQ10cos∠BAOcos θ

，

所以OB＝

10

cos θ

又OP＝10－10tan θ，

所以y＝OA＋OB＋OP

＝10cos θ10cos θ10－10tan θ， 故所求函数关系式为

y＝20－10sin θπcos θ10 0≤θ≤4 . ②若OP＝x (km)，则OQ＝(10－x) (km)， 所以OA＝OB(10－x)2

＋102

＝x2

－20x＋200.

故所求函数关系式为y＝x＋2x2

－20x＋200 (0≤x≤10)．

(2)选择函数模型①，

y′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)10(2sin θ－1)cosθcosθ 令y′＝0，得sin θ1

2，

因为0≤θ≤π4，所以θπ

6

当θ∈ 0，π6 时，y′<0，y是θ的减函数； 当θ∈ π 6，π4

时，y′>0，y是θ的增函数， 20－10×

1

所以当θ＝π

6时，y＝2min3

＋10＝(103＋10) (km)．

2

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- 3 -

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的中垂线上，且距离AB边3

3

处．

用心 爱心 专心 - 4 -

这时点O位于线段AB