高一数学函数的单调性测试题

高一数学函数的单调性测试题

2．3．1 函数的单调性·例题解析

【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3|

x2 2x(2)y＝

1 |x 1|(3)y＝ x2 2x 3

解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．

先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞)

(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．

令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是1，1]上是

．

在x∈[－

而y＝u在u≥0上是增函数．

∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．

高一数学函数的单调性测试题

当a≠0时，对称轴x＝

3a 1

，2a

a＞0

若a＞0时，由 3a 1得0＜a≤1．

≤1， 2a

若a＜0时，无解．

∴a的取值范围是0≤a≤1．

【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

(2)f(2)与f(

解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

(2)∵对称轴x＝3，∴f(2)＝f(4)，而3＜＜4，函数f(x)在x≥3

时为减函数．

∴f(＞f(4)，即f(＞f(2)． 【例4】判断函数f(x)＝

ax

(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性． x2 1

解 任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．

∵f(x1)－f(x2)＝

a(x1x2 1)(x2 x1)

2(x1 1)(x22 1)

22

∵－1＜x1＜x2＜1，x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x1－1＜0，x1－1＜0．

(x1x2 1)(x2 x1)∴＞02

(x1 1)(x2 1)2

当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．

【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

证 取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．

2

∵f(x2)－f(x1)＝(x1－x2)(x22＋x1x2＋x1)这里有三种证法：22证法(一)当x1x2＜0时，x1＋x1x2＋x22＝(x1＋x2)－x1x2＞0 2当x1x2≥0时，x1＋x1x2＋x22＞0

又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

高一数学函数的单调性测试题

132122

证法(二)∵x1＋x1x2＋x2＝(x＋x)＋x，这里x＋x211

224222

1

与x2不会同时为0，否则若x1＋x2＝0且x2＝0，则x1＝0这与x1＜x2

2

2

矛盾，∴x1＋x1x2＋x22＞0．

得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

2222

证法(三)令t＝x22＋x1x2＋x1，其判别式Δ＝x1－4x1＝－3x1

2

≤0，若Δ＝0时，则x1＝0，那么x2≠0，∴t＝x22＞0，若Δ＝－3x12＜0，则t＞0，即x22＋x1x2＋x1＞0，从而f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(－∞，

＋∞)上是减函数．

【例6】讨论函数f(x)＝x＋

1

的单调性，并画出它的大致图像． x

解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．

∵f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)

x1x2 1

，又x1－x2＜0，

x1x2

∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)

∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．

当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．

根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致

画出y＝x＋

1

的图像如图2．3－2． x

说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小． 2°注意对参数的讨论(如例4)．

高一数学函数的单调性测试题

3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如

例5)

4°例6是分层讨论，要逐步培养．