1.1_探索勾股定理_获奖课件1

探索勾股定理假如我们一旦和外星人见面， 假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言” 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的， 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为， 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介， 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 另一个是“数形关系” “数”,另一个是“数形关系”(勾股定 )。因为这种自然图形所具备的 因为这种自然图形所具备的“ 理)。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。 关系”在整个宇宙中是普遍的。

同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！勾股树1 勾股树2

A

bc aC

B

图1(1)

图1(2)

1.在图1(2)中， ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。 (1)如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么 Rt ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边 的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的 等量关系？ (2)如果这个直角三角形的三边长分别是a,b,c, 那么可以怎样用a,b,c把图中三个正方形面积之间的关 系表示出来呢？

B

A

C 图2(2)

图2(1)

2.图2(1)是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。 (1)图2(1)中用白色框标出的三个正方形，他 们的面积之间具有怎样的等量关系？ (2)根据图2(2),你能说出正方形面积之间的 等量关系反映了Rt ABC三边之间怎样的关系吗？把它 写出来。

动手做：用尺规做直角三角形 =90° 动手做：用尺规做直角三角形ABC,使 ∠C=90°, , =90 AC=3cm BC=4cm. . 动手量 动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm,则它的斜边长是多少? (5cm) 和 ,则它的斜边长是多少? ) 动手算 、 、 各自的平方有什么关系 各自的平方有什么关系? 动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系? 32 + 4 2 = 52

动脑猜： 动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗? 斜边的平方吗?

在准备好的方格纸上， 在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6 8,5和 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 12的直角三角形 的直角三角形, 和12的直角三角形,并测量出这三个直角

三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！ 形的斜边长,然后验证你的猜想！1 2 3 a 6 5 9 b 8 12 12 c 10 13 15

c2

a2 +b2

100 100 169 169 225 225

1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 、 设直角三角形的两条直角边分别为a, , (设直角三角形的两条直角边分别为 ，b, 斜边c) 斜边 ); 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 、 吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ 、你拼的正方形中是否含有以斜边 的正形？ 的正形 4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2? 、 c a b

证明1: 证明 ：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。

大正方形的面积可以表示为2

c2

;

a c b a b c

1 也可以表示为 (b a) + 4 × ab 2 c 1 2 ∵ c2= (b a) + 4 × ab 2 =b2-2ab+a2+ 2ab b =a2+b2a c a ∴a2+b2=c2

b

证明2: 证明 ： (a+b)2 ; 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 b ∵ (a+b)2 = a a b c c b c

ab 2 4× +C 2ab 2 4× +C 2a a

a2+2ab+b2 = 2ab +c2 b ∴a2+b2=c2 c a

证明3: 证明 ：D

C

你能只用这两个 直角三角形说明 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来， 人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明 了的证明，就把 这一证法称为 “总统证法”.

a

c

c a

b

A

b

∵S 梯梯ABCD = ( a+b) 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵ S梯梯ABCD =S AED+S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 ∴ 比比比 比比比比 c2=a2+b2

1

E

B

CED

勾股定理(gou勾股定理(gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为 、b, 斜边为c, 斜边为 ，那么 a2+b2=c2 a cb

即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方. 于斜边的平方.弦

在西方又称毕达 哥拉斯定理！ 哥拉斯定理！

勾 股

辉煌发现我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下 半部分称为“股”,我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为 “股”,斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理. 勾股定理. 勾股定理弦 勾

勾 股

股

数学史话

商高

毕达哥拉斯 《周髀算经》 周髀算经》

《勾股圆方图》 勾股圆方图》

1.基础练习之出谋划策 基础练习米的大门, 1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 如图,一个高3 对角的顶点间加一个加固木条, 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C ) A.3 米 B.4 米 C.5米 C.5米B

D.6米 D.6米

3C A

4

2.回归生活之学以致用 回归生活3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高 在波平如静的湖面上, 出水面1

一阵大风吹过,红莲被吹至一边, 出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2 这里水深多少? 这里水深多少? A

x2+22=(x+1)2

1 C

2 ┓ ┓ ┓ ┓

H

x ?B

3.巩固提高之灵活运用 巩固提高 如图，将长为10米的梯子AC 10米的梯子AC斜靠 如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为 长为6 在墙上，BC长为6米。 (1)求梯子上端 到墙的 求梯子上端A到墙的 求梯子上端 底端B的距离 的距离AB。 底端 的距离 。(2)若梯子下部 向后 )若梯子下部C向后 移动2米到 米到C 移动 米到 1点，那么梯 子上部A向下移动了多少 子上部 向下移动了多少 2 C1 C 米？10A

A1

6

B