6第六节_随机变量的分布函数_连续型随机变量及分布

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§2.2 随机变量的分布函数定义1 为一个随机变量， 定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x, 为一个随机变量 ， 分布函数. 称 F(x)=P{ X≤ x}为 X 的分布函数 ≤ 为 基本性质： 基本性质： (1) F(x) 单调不减； 单调不减； (2) 有界：0≤F(x)≤1,F( ∞ ,F(+∞)=1; 有界： ≤ ∞)=0, ≤ , ∞ ∞ ; (3) 右连续 F( x + 0) = F( x). 右连续:

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F(x)的图形： 的图形：

y112 13

o o12

o 0

x

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随机变量的概率问题可通过分布函数来表示 随机变量的概率问题可通过分布函数来表示P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} P{ X ≤ a} = F(b) F(a);

P{ X > c} = 1 P{ X ≤ c} = 1 F(c);P{ X < a} = lim P{ X ≤ a ε } = F(a 0); +ε →0

P{ X = a} = P{ X ≤ a} P{ X < a} = F(a) F(a 0);

类似地， P{a ≤ X ≤ b}, P{a ≤ X < b}, P{a < X < b}.

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例1

的分布列如下： 已知 X 的分布列如下： X P 1 2 3 4 1/2 1/4 1/8 1/8

1 3 5 的分布函数， 求 X 的分布函数，并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P {2 ≤ X ≤ 3}.

解：

0, 1/ 2, F( x) = 3/ 4, 7/ 8, 1,

x < 1; 1 ≤ x < 2; 2 ≤ x < 3; 3 ≤ x < 4; x ≥ 4.

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根据离散型随机变量的分布律，得到分布函数 根据离散型随机变量的分布律，得到分布函数

F( x) = P{X ≤ x} = ∑ P{X = xk }xk ≤ x

F( x) = ∑ pk .xk ≤ x

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对离散随机变量的分布函数应注意： 离散随机变量的分布函数应注意： 分布函数应注意 (1) F(x)是递增的阶梯函数; 是递增的阶梯函数 是递增的阶梯函数 (2) 其间断点均为右连续的; 其间断点均为右连续的 右连续 (3) 其间断点即为X的可能取值点 其间断点即为 的可能取值点; 的可能取值点 (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. 跳跃高度是对应的概率值

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例2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布率： 的分布函数如下 求 的分布率： x < 0; 0, 1/ 3, 0 ≤ x < 1; F( x) = 1/ 2, 1 ≤ x < 2; 1, x ≥ 2. 解： X P 0 1 2 1/2 1/3 1/6

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例3

设随机变量 X 的分布函数为

F ( x ) = A + B arctan x , ∞ < x < +∞试求常数A, 试求常数 B. 解：由分布函数的性质，我们有 由分布函数的性质，

0 = lim F ( x ) = lim ( A + B arctan x ) = A x → ∞ x → ∞

ππ2

2

B,B.

1 = lim F ( x ) = lim ( A + B arctan x ) = A +x →+∞ x →+∞

1 1 A= , B= . 2 π

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§2.3 连续型随机变量及其分布定义1 定义 设随机变量X 的分布函数为F(x), 设随机变量 的分布函数为

满足： 若存在非负可积函数 f (x) ,满足：

F( x) = ∫

x

∞

f (t )dt,

连续随机变量， 则称 X 为连续随机变量， 概率密度. 称 f (x)为概率密度函数，简称概率密度 为概率密度函数，简称概率密度

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连续型随机变量的分布函数是连续函数 可积

必连续)。但概率密度函数却未必连续。 )。但概率密度函数却未必连续 (可积必连续)。但概率密度函数却未必连续。 概率密度函数不唯一，在有限点可改变。 概率密度函数不唯一，在有限点可改变。

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概率密度的基本性质 概率密度的基本性质: 的基本性质 (1) (2)

f ( x) ≥ 0;

(非负性 非负性) 非负性 (正则性 正则性) 正则性

∫

+∞

轴之间的面积等于1 介于曲线 y = f ( x) 与x轴之间的面积等于1. 轴之间的面积等于 满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随 满足 的函数都可以看成某个连续随 f (x) 机变量的概率密度函数. 机变量的概率密度函数

∞

f ( x)dx = 1;

10 x

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(3) P{ x1 < X ≤ x2 } = F( x2 ) F( x1 )

=∫

x2

x1

f ( x)dx. ( x1 ≤ x2 )

落在区间 ( x1 , x2 ] 的概率 P{x1 < X ≤ x2 }等于 区间 ( x1 , x2 ]上曲线 y = f ( x)之下曲边梯形面积 之下曲边梯形面积.f (x)

0

x1 x2

x

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(4) 当F(x) 在x点可导时 f (x) = F′(x); 点可导时, 点可导时 点不可导时, 当F(x) 在x点不可导时 可令 (x) =0. 点不可导时 可令f (5) P{ X = a} = F(a) F(a 0) = 0. 事实上， 事实上，

0 ≤ P{X = a} ≤ P{a x < X ≤ a} = F(a) F(a x) → 0.

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于是， 于是， P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b}= P{a≤X≤b} = F(b) F(a). 事件{X=a}的概率为0, 事件{X=a}的概率为0,但未必是不可能事 的概率为 即不可能事件的概率为0,但概率为0的事 件，即不可能事件的概率为 ，但概率为 的事 件未必是不可能事件。同理，概率为1的事件未 件未必是不可能事件。同理，概率为 的事件未 必为必然事件。 必为必然事件。

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(6) 在 f(x) 的连续点 x 处有F( x +△x) F( x) P( x < X ≤ x +△x) f ( x) = lim+ lim △ x→0 △x→0+ △x △x

与物理学中的线密度的定义相类似， 与物理学中的线密度的定义相类似，这就是概 率密度的由来。 率密度的由来。

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离散型 1. 分布列 pk= P{X=xk} 分布列: ( 唯一 ) 2. F(x) = 3.xi ≤ x

连续型 1. 密度函数 X ~ f (x) ( 不唯一 ) 2. F( x) = ∫x ∞

∑ P{X = x }i

f (t )dt

F(a+0) = F(a);

P(a<X≤b) = F(b) F(a). ≤ 4. P{X=a} = 0 5. F(x)为连续函数。 为连续函数。 为连续函数 F(a 0) = F(a).

4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 为阶梯函数。 为阶梯函数 F(a 0) ≠ F(a).