工程数学复习资料

第一章 线性代数基本知识

一、内积定义：

设α=[a1, , an]，β=[b1, , bn]都是n维复向量，记<α,β>=

ab

ii 1

n

i

，其中bi表示对bi取

共轭，称<α,β>为向量α与β的内积。 二、向量正交：

对于向量α、β，若<α,β>=0，则称α与β正交，记作α⊥β。 三、Ax=b的解的结构：

(1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n时有无穷多解;

若线性方程组Ax=b的系数矩阵A与增广矩阵B=[A b]的秩相等为r，且r<n，而 1, , n r是对应齐次线性方程组的基础解系， 是Ax=b的任意一个特解，那么Ax=b的一般解为： x= +k1 1+ + kn r n r，其中k1, , kn r是任意实数。

四、特征值、特征向量、几何重数、代数重数

设A=[aij]是n阶方阵，若有数 和非零向量x，使Ax= x成立，则称 为A的特征值，非零向量x为A的属于特征值 的特征向量。

齐次线性方程组(A- jI)x=0的解空间的维数称为特征值 j的几何重数。

代数重数指的是特征值作为特征多项式的根的重数。

几何重数指的是特征值对应的线性无关的特征向量的个数。 五、若 (≠0)∈Sp(A)，则

1

Sp(A 1)。

1 1

设 是可逆方阵A的特征值，证明 0，且 是A的特征值。

证明：因A可逆，故A 0，所以 0。

设x 0是A的属于特征值 的特征向量，则有Ax x。于是，由 0得x 用A左乘上式的两边，得Ax x.由x 0知 是A的特征值。

T

六、实二次型f(x)= xAx>0 Sp(A), >0

实二次型f=xTAx为正定（负定）二次型的充要条件是，f的矩阵A的特征值全都大于（小于）零。 证明：设 1, , n是A的n个特征值，由定理1.6-1知，存在正交线性变换x=Qy使

2. f xTAx yT(QTAQ)y 1y12 nyn

若 1, , n都大于0，则只要y 0就有f 0，从而只要x 0就有f 0，即f是正定二次型。

1

1

Ax.

1 1 1 1

反之，若有一个特征值不大于零，不妨设为 1 0，则取y0 [1,0, ,0]T就使f 0，从而存在

x0 Qy0 0使f 0。这与f是正定的矛盾。

第二章 方阵的相似化简

一、能求A的J(见书85-88页) 二、C-H(Cayley-Hamilton)定理

定理2.2-1：方阵A的特征多项式一定是A的一个零化多项式。

定理2.2-2：A的最小多项式mA( )可整除A的任何零化多项式，且mA( )是唯一的。 定理2.2-3： 0是方阵A的特征值的充要条件是， 0是A的最小多项式mA( )的根。 定理2.2-4：方阵A可相似对角化的充要条件是，A的最小多项式没有重根。 三、 0 Sp(A)，则 0是mA( )的根

证明：设 0是A的特征值，x0 0是属于 0的特征向理，则由第一章1.5的定理1.5-3知，

故由上式可得mA( 0)x0 0.又因x0 0，故mA( 0) 0，mA(A)x0 mA( 0)x0.但mA(A) 0，

即 0是mA( )的根。

第三章 向量范数和矩阵范数

一、向量范数定义、证明连续。

定义：设V是数域F上的向量空间，对V中任一向量 ，都有一个实数三个条件： ①正定性：

与之对应，且满足下列

0，当且仅当 0时才有 0;

②齐次性：k k k F; ③三角不等式：则称

;

n

为 的范数。定义了范数的向量称为赋范向量空间。

n

欧氏范数：在C上,对于任一向量x [x1,x2, ,xn]，x的长度x

T

x

i 1

2i

就是x的一种范数。

x1 xi；x maxxi；x

i 1

1 i n

n

p

( xi)，1 p 。

i 1

n

p

1

p

由于x x y y x y y，

y y x x y x x x y x，故有

x y x y x y，即x y x y.表明当y趋向于x时，y趋向于x。因此，x是x的连续函数。

二、矩阵范数定义、证明协调性。

定义：对于任一m n复矩阵A，都有一个实数A与之对应，且满足 ①正定性：A 0，当且仅当A O时才有A 0; ②齐次性： k A, k C; ③三角不等式：A B A B;

④相容性：当A BG时有A BG，则称A为A的范数。 三、诱导范数定义，Sp(A)， (A)的定义

定义：给出一种与向量范数协调的矩阵范数，这就是诱导范数(也称算子范数)：A Ax.

x 1

由于Ax是x的连续函数，所以对给定的A来说，Ax在有界闭集x 1上是可以取得最大值

***

的，即存在这样的向量x，x 1且使Ax A.

方阵A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱，记为Sp(A)，并称特征值的模的最大值为A的谱半径，记为 (A)。

四、能算A1A 、cond(A)(见书140页) 五、能证 (A) A

证明：设 是A的任一特征值，x 0是属于 的特征向量，则由Ax x得

x x Ax x.因x 0，故x 0，所以 A.

由于 是A的任一特征值，从而 (A) 成立。

六、设A是可逆矩阵，证明Cond(A) (A) (A)

1

max

Sp(A)

min

1

。

SP(A)

1 1 1 1

证明：由于 (A) A， (A) A，所以Cond(A) AA (A) (A)。

若 1, , n是A的所有特征值，则A的所有特征值是

1

1

, ,

1

n

。因此

(A) max ，而 (A 1) max

Sp(A)

Sp(A)

1

1

min

，于是， (A) (A)

1

max

Sp(A)

Sp(A)

min

。

SP(A)

第四章 方阵函数与函数矩阵

一、矩阵序列收敛定义

定义：设 Ak k 0是一个m n矩阵序列，如果存在m n矩阵A [aij]，使

lim

k

(k)

aij aij(i 1, ,m;j 1, ,n)，则称矩阵序列 Ak k 0收敛于A。

二、方阵n级数收敛判据

设幂级数幂级数

c

kk 0k

k

的收敛半径是R，用方阵A替换该幂级数中的 ，用I替换 1得到方阵

c

k 0

k

A，则当 (A) R时，方阵幂级数 ckAk收剑，而当 (A) R，方阵幂级数

k 0

kcA k发散。 k 0

三、方阵函数的定义(6种) 定义：设幂级数

c

kk 0

k

的收敛半径为R，且在收敛域内

c

kk 0

k

f( )。当方阵A的谱半径

(A) R时，定义f(A) ckAk，并称f(A)为A的函数。

k 0

e

A

1k

A， (A) ； k!k 0

( 1)k

sinA A2k 1， (A) ；

k 0(2k 1)!

( 1)k2k

cosA A， (A) ；

k 0(2k)!

( 1)k 1k

ln(I A) A， (A) 1；

kk 1

(I A)

At

1

Ak， (A) 1；

k 0

1tkkk

e (At) A

k 0k!k 0k!

k

四、f(A) CkA的计算，吃透例子。(见书153-157页) 1.利用方阵A的Jordan标准形。

2.利用方阵A的最小多项式或特征多项式。

第六章 线性空间和线性变换

一、域定义，判断是否是域

定义：设F是包含0和1的一个数集，如果F中任意两个数（它们可以相同） …… 此处隐藏：2877字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……