《高等数学B》第十一章 无穷级数 第4节 泰勒级数与幂级数

《高等数学B》

第四节 泰勒级数与幂级数一、函数项级数的一般概念

1. 定义: 设 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , , u n ( x ) , 是定义在区间 I R 上 的函数 , 则

un ( x ) n 1

u1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x )

称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.例如级数

n 0

x

n

1 x x , (x R)2

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2. 收敛点与收敛域:如果 x 0 I , 数项级数 u n ( x 0 ) 收敛 , 则称 x 0为级数 u n ( x ) 的收敛点 , 否则称为发散点.n 1 n 1

函数项级数 域;n 1

u n ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛

所有发散点的全体称为发散域 .

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3. 和函数 : 在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数 s(x) , 称 s(x) 为函数项级数的和函数.s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)

函数项级数的部分和 s n ( x ) , lim s n ( x ) s ( x )n

余项 rn ( x ) s ( x ) s n ( x )lim r n ( x ) 0 ( x 在收敛域上)n

注意: 函数项级数在某点 x 的收敛问题 , 实质上是 数项级数的收敛问题 .

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例1 求级数 n 1

( 1) n

n

(

1 1 x

) 的收敛域 .

n

解

由达朗贝尔判别法un 1 ( x ) un ( x )

n

n 1 1 x

1

1 1 x

(n )

(1 ) 当

1 1 x

1,

1 x 1,

即 x 0或 x 2 时 ,

原级数绝对收敛.

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(2) 当

1 1 x

1,

1 x 1,

即 2 x 0时 ,

原级数发散.x 0或 x 2 ,

(3) 当 | 1 x | 1 ,当 x 0时 ,

级数

n 1

( 1) n1 n

n

收敛 ;

当 x 2 时 ,

级数

n 1

发散;

故级数的收敛域为

( , 2 ) [ 0 , ) .

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二、幂级数及其收敛性

1. 定义: 形如 a n ( x x 0 ) 的级数称为幂级数.n n 0

其中 a n 为幂级数的系数.当 x0 0 时 ,

an x 称之为 x 的幂级数 .n n 0

2. 收敛性:例如级数

n 0

x

n

1 x x ,2

当 x 1 时 , 收敛 ;

当 x 1 时 , 发散 ;

收敛域

( 1 , 1 ) ; 发散域

( , 1 ] [1 , ) ;

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定理 1 (Abel定理)如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0 ) 处收敛 , 则它在n 0

满足不等式

x x0

的一切 x 处绝对收敛 ;

n 如果级数 a n x 在 x x 0处发散 , 则它在满足不等 n 0

式

x x0

的一切 x 处发散 .

证明

(1 )

n 0n

a n x 0 收敛 ,n

n

lim a n x 0 0 ,

(级数收敛的必要条件)

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M ,使得 an x0nn

M

(n 0, 1, 2, )

而

an x

an x0 x

n

x x

n n 0

n

n

an x0

n

x x0

Mn

x x0

当

x0

1 时 , 等比级数

n 0

M

x x0

收敛 ,

n 0

an x

n

收敛 , 即级数

n 0

a n x 绝对收敛

n

;

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( 2 ) 假设当

x x 0 时发散x1

x 0

,

而有一点 x 1 适合

使级数收敛 ,

由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛 , 这与所设矛盾. 证毕

Abel定理的几何说明 收敛区域 发散区域

R

o

R

发散区域

x

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推论:n 如果幂级数 a n x 不是仅在 x = 0 一点收敛 , 也不 n 0

是在整个数轴上都收敛 , 则必有一个完全确定的正数 R 存在 , 它具有下列性质:当x R x R

时 , 幂级数绝对收敛;

当

时 , 幂级数发散;时 , 幂级数可能收敛也可能发散.

当x

R与 x R

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定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.( R , R ) , [ R , R ) , ( R , R ], [ R , R ].

x

规定: (1) 幂级数只在 x = 0 处收敛 ,R 0,

收敛区间 x = 0 ;

(2) 幂级数对一切 x 都收敛 ,R ,

收敛区间 (

, ).

问题: 如何求幂级数的收敛半径?

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n 定理2 如果幂级数 a n x 的所有系数 a n 0 , 设 n 0

lim

a n 1 an

n

1

( 为常数或

)

(1) 则当

0时 , R

;

(2) 则当 (3) 则当 证明

0 时 , R

;

时,

R 0.n

对级数a n 1 x an x

n 0n 1 n

an x

应用达朗贝尔判别法得a n 1 an

lim

n

lim

n

x x ,

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(1 )

如果 lim

a n 1 an

n

( 0 ) 存在 ,

由比值审敛法 , 当 |从而级数

x |

1

时 , 级数

n 0

| a n x | 收敛 ,

n

n 0

a n x 绝对 收敛 . 级数

n

当| x | 并且从某个

1

时 ,

n 0

| a n x | 发散 ,n 1

n

n 开始 | a n 1 x

| | an x

n

| , | an x | 0 ,n

从而级数

n 0

a n x 发散 .

n

收敛半径

R

1

;

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(2)

如果 0 , x 0 ,n 1 n

有

a n 1 x an x

0 ( n ) , 级数

n 0

| a n x | 收敛 ,R ;

n

从而级数

n 0

a n x 绝对 收敛 .

n

收敛半径

(3)

如果 ,

x 0,收敛半径

级数

n 0

a n x 必发散

n

.

R 0.

定理证毕.

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例2 求下列幂级数的收敛域:(1 )

n 1

( 1) xn

n

x

n

;

(2)

n ; (4)

n 1

( nx )

n

;n

(3)

n 1

n!

n 1

( 1)

n

2

(x n

1 2

) .

n

解

(1 )

lim

a n 1 an

n

limn

n n 1

n

1

R 1,

当 x 1时 …… 此处隐藏：1215字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……