【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.2.1函数的概念

1.2.1【学习要求】

函数的概念

1.通过丰富实例，理解函数的概念，学会用集合与对应的语言来 刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2.了解构成函数的三要素； 3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 【学法指导】 本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函 数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比 例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号 f(x)的学 习，借助具体函数来理解符号 y=f(x)的含义，由具体到抽象， 克服由抽象的数学符号带来的理解困难， 从而提高理解和运用数 学符号的能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.函数 (1)设 A、 是非空的数集， B 如果按照某种确定的 对应关系f , 使对于集合 A 中的 任意一个数x ,在集合 B 中都有 唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A .其中 x 叫做 自变量 ，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 叫做函数的 值域 . (2)值域是集合 B 的 子集 . , 函数值的集合{f(x)|x∈A}

填一填·知识要点、记下疑难点2.区间 (1)设 a,b 是两个实数，且 a<b,规定： ①满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示 为 [a,b] ; ②满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为

(a,b) ;③满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半 开半闭区间，分别表示为 [a,b),(a,b] . (2)实数集 R 可以用区间表示为 (-∞,+∞) ,“∞”读作 “无穷大”,“+∞”读作“ 正无穷大 ”,“-∞”读作 “ 负无穷大 ”. 我们把满足 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别表 示为 [a,+∞) , (a,+∞) , (-∞,b] ,(-∞,b). .

研一研·问题探究、课堂更高效

问题情境：初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然 这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质.对 于 y=1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它， 就不好解释， 显得牵强. 但如果用集合与对应的观点来解释， 就十分自然.因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函 数概念的再认识，就很有必要.

研一研·问题探究、课堂更高效探究点一 函数的概念

问题 1 初中学习的函数的概念是如何定义的？答 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y, 如果对于 x 的每一

个值，y 都有唯一的值与它对应，则称 x 是自变量，y 是 x 的函 数；其中自变量 x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 x 值对应的 y 的值叫做函数的值域.

问题 2 初中学过哪些

函数？

答 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.

研一研·问题探究、课堂更高效问题 3 阅读教材中的三个实例，并指出三个实例存在哪些变量？变

量之间的对应关系采用什么形式表达的？三个实例中变量的关系 有什么共同点？

答

每个实例中都存在着两个变量； 实例(1)中的两变量关系通

过关系式表达的，实例(2)中的变量间的关系通过图象表达的， 实例(3)中的变量间的关系通过列表的形式表达的； 三个实例变 量之间的关系都可以描述为：对于数集 A 中的每一个 x,按照 某种对应关系 f,在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记 作：f:A→B.

研一研·问题探究、课堂更高效问题 4 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及

值域是指什么？

答

函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的

对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数，记作 y=f(x),x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.问题 5 在函数的定义中，值域与集合 B 有怎样的关系？

答 值域是集合 B 的子集.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 6答

f(x)与 f(a)有何区别与联系？f(a)表示当自变量 x=a 时函数 f(x)的值，是一个常量，

而 f(x)是自变量 x 的函数，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一个 特殊值.

研一研·问题探究、课堂更高效例1 对于函数 y=f(x),以下说法正确的有 ( B )

①y 是 x 的函数；②对于不同的 x,y 的值也不同；③f(a)表 示当 x=a 时函数 f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用 一个具体的式子表示出来. A.1 个解析

B.2 个

C.3 个

D.4 个

①③正确，②是错误的，对于不同的 x,y 的值可以相同，

这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并 不是都能用具体的式子表示出来.小结 在 y=f(x)中 f 表示对应关系，不同的函数其含义不一样；

f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”.

研一研·问题探究、课堂更高效

跟踪训练 1 给出四个命题： ①函数就是定义域到值域的对应关 系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元 素；③因 f(x)=5(x∈R),这个函数值不随 x 的变化范围而变化， 所以 f(0)=5 也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值也就 确定了.正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ( D ) D.4 个

解析 由于 4 个命题都满足函数的定义的要求，故都正确. 故选 D.

研一研·问题探究、课堂更高效探究点二 函数构成的三要素

问题 1 一个函数的构成有哪些要素？

答 定义域 A、对应关系 f 和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.问题 2答

在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？起决定作用的是函数对应关系和定义域，因为函数的值域

为什么？由函数的定义域和对应关系确定，当两个函数的定义域和对应 关系相同时，值域一定相同.

小结

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，

我们就称这两个函数相等.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 3 新的函数定义与传统的函数定义有什么异同？答 两个定义中的定义域与值域的意义完全相同；两个定义中

的对应关系实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，初中的 定义是从运动变化的观点出发，新定义的对应关系是从集合与 对应的观点出发.

问题 4 你能从集合的角度解释 y=1 是函数吗？答 A=R,B={1},f∶x→y=1,x∈A,y∈B.

研一研·问题探究、课堂更高效例2 下列函数中哪个与函数 y=x 相等？ 3 x2 (1)y=( x)2;(2)y= x3;(3)y= x2;(4)y= x .解 (1)y=( x)2=x(x≥0),y≥0,定义域不同且值域不同，所以两 函数不相等； 3 3 (2)y= x =x(x∈R),y∈R,对应关系相同，定义域和值域都相同，

所以相等；(3)y= x2

x,x≥0 =|x|= -x,x<0

,y≥0;值域不同，且当 x<0 时，它的

对应关系与函数 y=x 不相同，所以不相等；x2 (4)y= 的定义域为{x|x≠0},与函数 y=x 的定义域不相同，所以不相等. x小结 在两个函数中， 两个函数的定义域、 值域、 对应关系有一个不同， 两函数就不等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等.

研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练 2 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？ x+3 x-5 (1)y1= ,y2=x-5; x+3 (2)y1= x+1 x-1,y2= x+1 x-1 ; (3)f1( …… 此处隐藏：2106字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……