2.1.1 参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)

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[读教材· 填要点] 1.参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某 个变数 t x=f t , 的函数 y=g t ,

①,并且对于 t 的每一个允许值，由方程

组①所确定的点 M(x,y) 都在这条曲线上 ，那么 方程组① 叫做 这条曲线的参数方程. 联系变量 x,y 的 2.普通方程 相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做 普通方程.

变数t 叫做参变数，简称参数.

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[小问题· 大思维] 1.参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？

提示：参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.2.曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一 x=4t+1 样.如 y=2t

t∈R

x=2m+1 和 y=m

(m∈R) 都表示直线 x=2y+1.

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[研一题] x=2t 的参数方程是 y=3t2-1

[例 1]

已知曲线 C

(t 为参数)

(1)判断点 M1(0,-1)和 M2(4,10)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M(2,a)在曲线 C 上，求 a 的值.

[精讲详析]

本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关

系.解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在.

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(1)把点

x=2t, M1 的坐标代入参数方程 y=3t2-1,

0=2t 得 -1=3t2-1

,∴t=0.

即点 M1 在曲线 C 上. 把点 x=2t, M2 的坐标代入参数方程 y=3t2-1,

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4=2t 得 10=3t2-1

,方程组无解.

即点 M2 不在曲线 C 上. (2)∵点 M(2,a)在曲线 C 上， 2=2t, ∴ a=3t2-1.

∴t=1,a=3×12-1=2. 即 a 的值为 2.

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[悟一法] 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点 的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如 果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上.

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[通一类] x=2sin θ+1 1.已知曲线 y=sin θ+3

(θ 为参数，0≤θ<π),

则下列各点 A(1,3), B(2,2), C(-3,5)在曲线上的点是________.

解析： A(1,3)点代入方程得 θ=0; B、 点坐标代入方程， 将 将 C 方程无解，故 B、C 点不在曲线上.

答案：A(1,3)

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[研一题]

[例2]

如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰

长为a,顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，

求点P在第一象限的轨迹的参数方程.[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需

要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.

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法一：设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴 于 Q. 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t

<a). ∵|OA|= a2-t2, ∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 x=t+ y=t

a2-t2

,(0<t<a)

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法二：设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴 于点 Q,如图所示. π 取∠QBP=θ,θ 为参数(0<θ<2), π 则∠ABO=2-θ. π 在 Rt△OAB 中，|OB|=acos (2-θ)=asin θ. 在 Rt△QBP 中，|BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 x=a sin θ+cos y=asin θ.

θ ,

π (θ 为参数，0<θ<2).

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[悟一法] (1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系， 设(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画出草图(画图时要注意根 据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系).

第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显，容易列

出方程；二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如，在研究运

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动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋 转角为参数.此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、 斜率、截距等也常常被选为参数. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式. (2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求

出参数的取值范围并标注出来.

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[通一类] 2.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA=2a, 射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线 交于 B 点，作 PQ⊥OA 交 OA 于 D,PB∥OA, 试求点 P 的轨迹的参数方程. 解： P(x, 设 y)是轨迹上任意一点， 取∠DOQ=θ, PQ⊥OA, 由PB∥OA,得 x=OD=OQcos θ=OAcos 2θ=2acos 2θ,y=AB=OAtan θ=2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为 x=2acos 2θ y=2atan θ

π π ,θ∈(-2,2).

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曲线参数方程的应用， 是高考模拟的热点内容.2012 年长春模 拟以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模 拟命题的一个新亮点. [考题印证] (2012·长 春 模 拟 ) 已 知 弹 道 曲 线 的 参 数 方 程 为 x=2tcos y=2tsin π 6, π 1 2 6-2gt .

(t 为参数)

(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度.

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[命题立意] 义及其应用.

本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意

[解]

π 1 2 (1)令 y=0,则 2tsin 6-2gt =0.

2 解之得 t=g. 2 ∴炮弹从发射到落地所需要的时间为g.